Теория потенциалов, определение, основные свойства.

Пусть в точке расположен заряд величины, тогда в любой точкепространства будет создаваться поле, потенциал которого:. Для системы зарядов, потенциал имеет вид:.

Рассмотрим интеграл: ,- интегрируема (непрерывна) везде, кроме, если. Рассмотрим его сходимость и непрерывность.

Определение: будем говорить, что это интеграл сходиться равномерно в окрестности точки , если для любогосуществует такое, (), что для любой точки, (- окрестность т.,) выполняется :.

Теорема: если сходится равномерно в окрестности точки, тосуществует и непрерывна в точке.

Доказательство: разобьём на 2 функции:, рассмотрим разность:(она мала, еслииблизки).

Докажем более подробно. Поскольку сходится в окрестности, то берёми выбираем такое, чтои, тогда выполняетсяи. Так как, то интегралне является не собственным, инепрерывна в точке. Значит, для того жесуществует такое, чтовыполняется. Пусть, тогдавыполняется,и, а следовательно и.

Чтд.

Замечание: из равномерной сходимости следует сходимость интеграла.

При определении интеграла предполагалось, что промежуток интегрирования конечен и подынтегральная функция определена и непрерывна на этом промежутке. Такой интеграл называется собственным. Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.

1. Содержание

   • Оглавление
   • Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
   • Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
   • Примеры
   • Свойства гармонических функций.
   • Теорема о среднем для гармонических функций
   • Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
   • Следствия:
   • Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
   • Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
   • Решение задач с её помощью
   • Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
   • Теория потенциалов, определение, основные свойства.
   • Объёмный потенциал
   • Потенциал простого слоя
   • Потенциал двойного слоя
   • Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
   • Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
   • Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
   • Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
   • Уравнение Бесселя.
   • Особенность, построение ограниченного решения .
   • Общее решение, ,,,понятие о функциях .
   • Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
   • Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
   • Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
   • Сводная таблица.
   • Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
   • Уравнение гипергеометрического типа.
   • Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
   • Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
   • Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
   • Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
   • Полиномы Лежандра.
   • Полиномы Чебышева-Лягера.
   • Чебышева-Эрмита.
   • Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
   • Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
   • Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
   • Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.