10.3.4. Линейные однородные

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ го ПОРЯДКА

Для линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка

, (10.17)

, , характеристическое уравнение имеет вид:

. (10.18)

Чтобы решить дифференциальное уравнение (10.17), надо решить уравнение  -ой степени (10.18), которое имеет ровнокорней – действительных или комплексных. По виду найденных корней выписывается ф.с.р. с учетом того, что

1. каждому простому действительному корню соответствует одно решение ;

2. каждому действительному корню кратности соответствуетлинейно независимых решений ;

3. каждой паре простых комплексных корней соответствует пара решений;

4. каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствуетлинейно независимых решений

,

.

Подчеркнем, что ф.с.р. линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка содержит линейно независимых решений. После нахождения ф.с.р. общее решение дифференциального уравнения (10.17) запишется в виде.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

а) , б).

а) характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет две пары действительных корней кратности

. В соответствии с п. 2) ф.с.р. состоит из функций , а общее решение имеет вид:

.

б) характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет простой действительный кореньи две пары комплексных корней. В соответствии с п. 1) и п. 4) составим ф.с.р.:. Отсюда общее решение имеет вид:

.