Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcos, y=rsin, z=z (0<=r<=+, 0<= <= 2, -<=z<=+)

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r?  , связанными с z,y,z формулами x=rsincos,

y=r sinsin, z=rcos.

(0<=r<=+, 0<= <= 2,

0<= <=2)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r²sin.

Итак, в сферических координатах сие будет:

13. Содержание

    • Определение двойного интеграла
    • Свойства двойного интеграла
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
    • Замена переменных в двойном интеграле
    • Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
    • Двойной интеграл в полярных координатах
    • Вычисление объема с помощью двойного интеграла
    • Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
    • Тройной интеграл и его свойства
    • Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
    • Замена переменных в тройном интеграле
    • Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат
    • Криволинейные интегралы первого рода. Свойства
    • Вычисление криволинейных интегралов первого рода
    • Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Грина-Римана
    • Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой)
    • Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление
    • Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Остроградского –Гаусса
    • Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
    • Элементы теории поля
    • Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция
    • Дифференцируемость функции комплексного переменного
    • Условия Коши-Римана
    • Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление
    • Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области
    • Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области
    • Интегральная формула Коши для аналитической функции
    • Ряд Тейлора аналитической функции
    • Изолированные особые точки аналитической функции
    • Вычет в изолированной особой точке
    • Вычисление вычетов в изолированной особой точке
    • Основная теорема о вычетах
    • Ортогональность тригонометрической системы функций
    • Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
    • Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций
    • Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме
    • Прямое и обратное преобразование Фурье