Элементы теории поля

векторное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: .

Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если сферическим, когда , , цилиндрическим, когда ,

Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Через каждую точку М проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или , линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:

Скалярное поле. Если каждой точке М пространства ставится в соответствие скалярная величина u(M), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также u(x,y,z) или . Поле может быть плоским, если u=u(x,y) , центральным (сферическим), если , цилиндрическим, если Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых u принимает постоянное значение. Их уравнение: u(чбнбя)=const . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: u(x,y)=const. В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.

Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div V = 0.

Необходимость. Если V = rot W, то непосредственной проверкой можно убедиться, что div V = 0 (div rot W = 0).

Достаточность. Будем искать частное решение уравнения V = rot W.

(P,Q,R)= или .

Решение будем искать среди полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система упростится и примет вид

Первое и второе уравнения интегрируем по z

b = - , a = - .

Еще раз сузим множество поиска, полагая y = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и по y, получим

, .

Откуда получим

Таким образом, , откуда

Частное решение найдено в виде

Где D – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.

Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W1 = W + grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u.

Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен.

Действительно, по формуле Остроградского Гаусса (V,dS)= 0 , кроме того (V,dS)= 0. Откуда (V,dS)+ (V,dS) = 0 или (V,dS)= (V,dS).