Ряд Тейлора аналитической функции

(29-30)

Тейлор: Если в точке z₀ f(z) аналитична, то в окрестности этой точки она представима рядом

где Г- окружность с центром в точке z=z₀ , целиком лежащая в окрестности точки z₀ , в которой функция f(z) аналитична.

Лоран (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце r < | z - z₀ | < R,    представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:          (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2) где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности, - окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:  или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:  где   r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами

32. Содержание

    • Определение двойного интеграла
    • Свойства двойного интеграла
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае прямоугольной области
    • Приведение двойного интеграла к повторным в случае криволинейной области
    • Замена переменных в двойном интеграле
    • Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
    • Двойной интеграл в полярных координатах
    • Вычисление объема с помощью двойного интеграла
    • Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
    • Тройной интеграл и его свойства
    • Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
    • Замена переменных в тройном интеграле
    • Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат
    • Криволинейные интегралы первого рода. Свойства
    • Вычисление криволинейных интегралов первого рода
    • Криволинейные интегралы второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Грина-Римана
    • Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (случай плоской кривой)
    • Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление
    • Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление
    • Теорема Остроградского –Гаусса
    • Теорема Стокса (без доказательства). Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай пространственной кривой)
    • Элементы теории поля
    • Множество комплексных чисел. Стереографическая проекция
    • Дифференцируемость функции комплексного переменного
    • Условия Коши-Римана
    • Интеграл от функции комплексного переменного. Свойства. Вычисление
    • Теоремы Коши для аналитической функции в односвязной области
    • Теоремы Коши для аналитической функции в многосвязной области
    • Интегральная формула Коши для аналитической функции
    • Ряд Тейлора аналитической функции
    • Изолированные особые точки аналитической функции
    • Вычет в изолированной особой точке
    • Вычисление вычетов в изолированной особой точке
    • Основная теорема о вычетах
    • Ортогональность тригонометрической системы функций
    • Ряд Фурье по тригонометрической системе функций . Теорема Дирихле
    • Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций
    • Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме
    • Прямое и обратное преобразование Фурье