Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление

Площадь гладкой поверхности. Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области ( разбиение ). Пусть   - наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть   однозначно проектируется на плоскость и  - эта проекция. Элементу площади области на плоскости соответствует элемент площади поверхности , равный , где - угол между нормалью к поверхности и осью . Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то     и площадь поверхности вычисляется по формуле   , здесь - проекция поверхности на плоскость . Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением  и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.