10.3.3. Линейные однородные дифференциальные

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

, (10.14)

где ,.

Будем искать решение дифференциального уравнения (10.14) в виде . Подставим эту функцию в уравнение:

. (10.15)

Если удовлетворяет уравнению (10.15), то функцияявляется решением дифференциального уравнения (10.14).

Уравнение (10.15) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения (10.14).

Решение дифференциального уравнения (10.14) будет зависеть от характера корней квадратного уравнения (10.15). Как всякое квадратное уравнение, оно может иметь либо пару действительных различных корней , либо совпадающие (двукратные) корни, либо пару комплексно-сопряженных корней.

Рассмотрим всевозможные случаи.

1) Пусть характеристическое уравнение имеет различные действительные корни . Тогда– решения дифференциального уравнения (10.14), причем. Следовательно,линейно независимы, а потому образуют ф.с.р. По теореме 3 общее решение (10.14) в этом случае имеет вид

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим и решим характеристическое уравнение:

–ф.с.р.

Тогда – общее решение этого дифференциального уравнения.

2) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные равные корни . Тогда– решение дифференциального уравнения (10.14). Покажем, что в качестве второго решения, линейно независимого с этим, можно взять функцию.

Подставим эту функцию в уравнение:

,

где – двукратный корень уравнения (10.15). По теореме Виета, поэтомуудовлетворяет уравнению (10.14). Кроме того,, то естьобразуют ф.с.р., и общее решение дифференциального уравнения (10.14) в этом случае имеет вид:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение

.

Отсюда ф.с.р. состоит из функций и общее решение имеет вид.

3) Пусть характеристическое уравнение (10.15) имеет комплексные корни

. Так как , то решениялинейно независимы, значит, образуют ф.с.р. Но по теореме 1 при любых– решение (10.14), поэтому подберем постоянныеитак, чтобы получить парудействительных линейно независимых решений уравнения. Воспользуемся для этого формулой Эйлера (она будет доказана позже в гл.13)

. (10.16)

Из (10.16) имеем:

.

Отсюда новая действительная фундаментальная система решений может быть составлена из функций и, а общее решение дифференциального уравнения (10.14) тогда имеет вид:

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение имеет комплексные корни.

Следовательно, ф.с.р. данного уравнения состоит из функций , а– общее решение.

Все вышесказанное можно систематизировать в виде таблицы: