Комбинаторика (Под_курсы) 2

Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство 3 является следствием формулы бинома Ньютона:

. (9.1)

Поэтому сочетания еще иногда называют биномиальными коэффициентами.

Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна 2ⁿ. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, и равно 2ⁿ^–¹.

Пример 9.1. Найти разложение степени бинома (2x–3)⁵.

Решение. Полагая a=2x, b=–3, получим

Пример 9.2. Пятый член разложения не зависит отx. Найти n.

Решение. Пятый член разложения T₅ имеет следующий вид:

По условию T₅не зависит отx; это означает, что показатель степени приxравен нулю, т.е. (n–4)/3–4=0. Из последнего уравнения находимn=16.

Пример 9.3. Вычислить сумму

Решение. Согласно формуле бинома Ньютона, при любом x имеем равенство:

Полагая здесь x=1, получим

Итак, искомая сумма равна 3⁵, т.е. 243.

Упражнения

9.1. Напишите разложение степени бинома

а) ;б) ;в) .

Ответ: а) ,

б) ,

в) .

9.2. Найдите пятый член разложения .

Ответ: .

9.3. Найдите два средних члена разложения .

Ответ: и.

9.4. Найдите в биномиальном разложении член, не содержащийx.

Ответ: .

9.5. Найдите сумму .

Ответ: .

9.6. Сумма биномиальных коэффициентов разложения равна 64. Напишите член, не содержащий переменнуюx.

Ответ: n=6, .

Содержание