Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.

Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а-b=с тогда и только тогда, когда b+c=a.

Число а-b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемое, а число b – вычитаемым.

Теорема. Разность натуральных чисел а-b существует тогда и только тогда когда b меньше а. Доказательство. Пусть разность а-b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b+c=а, а это значит, что b меньше а. если же b меньше а, то, по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что b+c=а. тогда по определению разности, с = а-b, т.е. разность а-b существует.

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: a:b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.

Теорема. Если а и b делятся на число с, то существует такое натуральное число х= а:с, что а=сх. Аналогично существует такое натуральное число у= b:с, что b=су. Но тогда а + b= сх +су х с ( х+у). это значит, что а+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+b на число с, равно х+у, т.е. а:с+b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила: Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученное результаты сложить.

Теорема если натуральные числа а и b делятся на число с и а больше b, то разность а – b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а-b) : с = а:с – b:с. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Эту теоремы можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.