Доказательство утверждений методом математической индукции.

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. Задача. Доказать, что каждое составное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел. Решение: вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, которое делится только на 1 и на себя. Числа 2,13,5,17 – простые. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным. В данной задаче рассматривается множество чисел, которые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут числа: 6,8,9,10,12,14,15,16,18. Каждое из них можно представить в виде суммы двух простых чисел: 6=3+3; 8=5+3; 9=7+2 и т.д. Так как данное утверждение истинно во всех частных случаях, то оно доказано.