Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.

Математическое доказательство — цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости можно восстановить формальное доказательство. Необходимость формального доказательства утверждений — одна из основных характерных черт математики как дедуктивной отрасли знаний, соответственно, понятие доказательства играет центральную роль в предмете математики^[⇨], а наличие доказательств и их корректность определяют статус любых математических результатов.

Доказательство — это логическая операция обоснования истинности утверждения с помощью фактов и связанных с ним суждений. С помощью совокупности логических приёмов истинность какого-либо суждения обосновывается исходя из других истинных суждений.

Основу доказательства составляют следующие положения:

1. Тезис — утверждение, истинность которого надо доказать

2. Аргументы и факты — это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса

3. Демонстрация (форма доказательства) — способ обоснованной логической связи между утверждаемым тезисом и аргументами

Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству утверждаемого тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях.

Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путём доказательства ложности утверждаемого антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Антитезис может быть выражен в одной из двух форм:

1. Если тезис обозначить буквой а , то его отрицание (а) будет антитезисом, то есть противоречащим тезису суждением;

2. Антитезисом для тезиса а в суждении а...в...с служат суждения в и с .

В зависимости от этого различия в структуре антитезиса косвенные доказательства делятся на два вида – апагогическое (доказательство от «противного») иразделительное доказательство (методом исключения). Первое осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто используется в математике. Во втором антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы, например: Преступление совершил либо А, либо Б, либо С. Доказано, что не совершали преступление ни А, ни Б. Следовательно преступление совершил С. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения кроме одного.

28. Содержание

    • Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.
    • Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.
    • Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.
    • Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.
    • Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.
    • Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.
    • Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.
    • Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.
    • Наименьший элемент
    • Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.
    • Свойства множества натуральных чисел.
    • Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.
    • Множество целых неотрицательных чисел.
    • Деление с остатком.
    • Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.
    • Определение понятий. Виды определения понятий. Требования к правильному определению понятий.
    • Простые суждения. Структура простого высказывания. Классификация простых высказываний.
    • Состав простого суждения
    • Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
    • Отношение логического следования и логической равносильности. Теорема. Структура теоремы и виды теорем.
    • Умозаключения. Общая характеристика и виды умозаключений.
    • Основные правила построения умозаключений . Проверка правильности умозаключений.
    • Индуктивные умозаключения и их виды. Умозаключения по аналогии.
    • Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.
    • Доказательство утверждений методом математической индукции.