Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица)

Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

1. по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а₁ до а_n в порядке возрастания индексов;

2. столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх - по возрастающим индексам;

3. места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка.

Характеристическое уравнение системы имеет вид где все коэффициенты строго больше нуля. Получим матрицу n.

Для того чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные либо вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

а_k>0, k=0,1,2,...5;

2 =а₁а₂ - а₀а₃>0;

3=а₃2 - а₁₂а₄>0; 4 =а₄3 -а₂а₅2 + а₀а₅(а₁а₄ - а₀а₅)>0; 5 =а₅4>0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда а_n>0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до n-1 включительно. Доказано, что если n-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия n-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.