Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
| в одномерном случае (:) задача (4’) будет иметь вид: | , её решение – функция Грина: |
Рассмотрим интервал
Выбираем решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию при. Этих решений много. Общее решение:, где,- есть функция. Это решение существует везде на отрезке, оно может быть использовано для построения функции Грина.
Рассмотрим интервал .
Пусть тогда - решение уравнения, удовлетворяющее граничному условию при, Этих решений много. Общее решение:, где,- есть функция.
| Склеим эти два куска так, чтобы в точке выполнялось (*). Там есть две производных, и при любом разрыве будет бесконечность. Возьмем окрестность точкиразмера δ и проинтегрируем левую часть (*):. Интегрируем:, пусть, тогда |
, т.о. т.о. получили уравнение, связывающее две неопределённые константы. Второе уравнение можно получить, приравняв два решения в точке разрыва:. Имеем систему однородных линейных уравнений для нахожденияи:, решаем:, где определитель Вронского:, мы можем построить не бесконечную и непрерывную функцию Грина.
Из теории ОДУ знаем, что , докажем:, чтд.
Сделаем эту постоянную выбороми., и тогда функция Грина:
| . Излом первой производной соответствует -функции. - линейные функции.
|
с) Функция Грина симметрична по своим аргументам G(P,Q) = G(Q,P)
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.