1. Первый признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=(1) и b₁+b₂+b₃+…+b_n+…=(2).

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_nb_n и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. а_nb_n и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.

Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.

2. Второй признак сравнения.

Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.

3. Признак Даламбера.

Если для знакоположительного ряда (а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

4. Признак Коши радикальный.

Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный.

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=- знакоположительный ряд.

Обозначим a_n=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.