1. Первый признак сравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=(2).
Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аnbn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признак сравнения.
Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.
3. Признак Даламбера.
Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
4. Признак Коши радикальный.
Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
5. Признак Коши интегральный.
Вспомним несобственные интегралы.
Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается .
Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=- знакоположительный ряд.
Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.
- Правило вычисления двойного интеграла.
- Дифференциальные уравнения.
- Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.
- 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- 3. Линейные дифференциальные уравнения.
- 4. Уравнения Бернулли.
- Дифференциальные уравнения второго порядка.
- Три случая понижения порядка.
- 1. Случай непосредственного интегрирования.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Комплексные числа.
- Геометрическое изображение комплексных чисел.
- Действия над комплексными числами.
- Ряды. Числовые ряды.
- Свойства числовых рядов.
- Знакоположительные ряды. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
- 1. Первый признак сравнения.
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.