Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Имеют вид:
, где p и q– некоторые числа.
Общее решение имеет вид:, где
y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения; - частное решение соответствующего однородного уравнения.
Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение , и складывают их.
Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов.
Для нахождения частных решений рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:
, где Pn(x) – многочлен n–ой степени.
Тогда возможны следующие 3 случая:
А). Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то частное решение имеет вид: , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), только с неопределенными коэффициентами.
Например.
Pn(x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Qn(x)=A;
Pn(x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Qn(x)=Ax+B;
Pn(x)=x2 - многочлен 2-ой степени (n=2). Qn(x)=Ax2+Bx+C;
Pn(x)=3x3-3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Qn(x)=Ax3+Bx2+Cx+D.
Замечание. Многочлен Qn(x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения.
Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .
В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .
Итог.
Если , то , где r– кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если ‘а’ не есть корень; r=1, если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2, если ‘а’ совпадает с двумя корнями.
2. Если правая часть f(x) имеет вид: , где Pn(x)–многочлен n–ой степени; Qm(x)-многочлен m–ой степени.
Тогда возможны следующие два случая:
А). Если не является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: , где SN(x), TN(x)–многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов SN(x) и TN(x) равна наибольшей из степеней многочленов Pn(x) и Qm(x).
Б). Если является корнем характеристического уравнения k2+pk+q=0 (), то частное решение имеет вид:
Замечание.
- Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. Pn(x)=0 или Qm(x)=0, то частное решение все равно записывается в полоном виде.
- Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f1(x)+ f2(x)+… fn(x)), то .
- Так же рассматриваем все комбинации при расчете : cosx, sinx, xcosx, xsinx,x2cosx, x2sinx.
- Правило вычисления двойного интеграла.
- Дифференциальные уравнения.
- Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.
- 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- 3. Линейные дифференциальные уравнения.
- 4. Уравнения Бернулли.
- Дифференциальные уравнения второго порядка.
- Три случая понижения порядка.
- 1. Случай непосредственного интегрирования.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Комплексные числа.
- Геометрическое изображение комплексных чисел.
- Действия над комплексными числами.
- Ряды. Числовые ряды.
- Свойства числовых рядов.
- Знакоположительные ряды. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
- 1. Первый признак сравнения.
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.