Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида:

y’’+py’+qy=0, где p и q – некоторые числа.

Составим характеристическое уравнение:

, которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей.

Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов:

1). , если к1 и к2 – действительные и различные, т.е. D>0.

2). , если к1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0.

3). , если к1 и к2 – комплексные, т.е. ; D<0.