Действия над комплексными числами.
1. сложение. z1+z2=(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2. вычитание. z1-z2=(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. умножение. z1z2=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2 )+i(x1y2+x2y1);
4. деление. z1/z2=(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=
Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными.
Произведение.
- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
z1=r(cos+isin); z2=r(cos+isin).
То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.
- Если комплексные числа заданы в показательной форме.
; ;
Частное.
- Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме.
- Если комплексные числа заданы в показательной форме.
Возведение в степень.
1. Комплексное число задано в алгебраической форме.
z=x+iy, то zn находим по формуле бинома Ньютона:
zn=(x+iy)n.
- число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; .
Применяем для комплексного числа.
В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями:
i0=1 Отсюда, в общем случае получаем: i4k=1
i1=i i4k+1=i
i2=-1 i4k+2=-1
i3=-i i4k+3=-i
i4=1
i5=i
i6=-1
Пример.
i31= i28 i3=-i
i1063= i1062 i=i
2. Если комплексное число задано в тригонометрической форме.
z=r(cos+isin), то
- формула Муавра.
Здесь n может быть как “+” так и “-” (целым).
3. Если комплексное число задано в показательной форме:
Извлечение корня.
Рассмотрим уравнение: .
Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z: .
Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме:
z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле:
, где к=0,1…n-1.
- Правило вычисления двойного интеграла.
- Дифференциальные уравнения.
- Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка.
- 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
- 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
- 3. Линейные дифференциальные уравнения.
- 4. Уравнения Бернулли.
- Дифференциальные уравнения второго порядка.
- Три случая понижения порядка.
- 1. Случай непосредственного интегрирования.
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- Комплексные числа.
- Геометрическое изображение комплексных чисел.
- Действия над комплексными числами.
- Ряды. Числовые ряды.
- Свойства числовых рядов.
- Знакоположительные ряды. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
- 1. Первый признак сравнения.
- Знакопеременные и знакочередующиеся ряды.