Ряды. Числовые ряды.

Пусть переменная а принимает последовательно значения а₁,а₂,а₃,…,а_n. Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна.

Числовым рядом называется выражение а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= . Числа а₁,а₂,а₃,…,а_n – члены ряда.

Например.

а₁ – первый член ряда.

а_n – n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда).

Числовой ряд имеет бесконечное число членов.

Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…).

n-ый член находится по формуле а_n=а₁+d(n-1); d=а_n-а_n-1.

Знаменатель – геометрическая прогрессия. b_n=b₁q^n-1; .

Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn.

Sn=а1+а2+…+а_n.

Sn – n-ая частичная сумма ряда.

Рассмотрим предел:

S - сумма ряда.

Ряда сходящийся, если этот предел конечен (конечный предел S существует).

Ряд расходящийся, если этот предел бесконечен.

В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия.

, C=const.

Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом, если , и расходящимся, если .

Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся.