18. Группоид. Квазигруппа. Латинский квадрат. Лупа. Полугруппа. Моноид. Группа. Абелева группа.

Группоид, обозначаемый символом (A, ·) — множество A, на котором задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ·. Если множество группоида конечно, то есть ½A½ = card (A) = n, то таблица Кэли операции группоида есть таблица  n ´ n, в которой элемент x · y Î A находится в клетке пересечения строки x и столбца y. Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.

Квазигруппа (от латинского слова quasi — как будто, почти и слова группа) — группоид, бинарная операция которого (например, ·) такова, что каждое из уравнений a · x = b, y · a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества.

Лупа, или квазигруппа с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием требования ассоциативности, особенно близка к группе.

Группа (нем. Gruppe) — одно из основных понятий современной математики — есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.

Пусть G — произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция ° , т.е. для любых двух элементов a  и b из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a ° b) также из G.

Если при этом выполняются условия:

1) (a ° b) ° c = a  ° (b ° c) для любых a, b и c из G;

2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда — нейтральным элементом), что a ° e = e ° a = a для любого a из G;

3) для любого a из G существует такой элемент a –1 (обратный к a элемент), что a ° a –1 =  a –1 ° a =  e,

то множество G с заданной на нем операцией °   назовем группой.

Абелева группа есть группа (A, ·), в которой для любых двух элементов a , b Î A имеет место a · b = b · a .

Очередность образования вышеперечисленных понятий наглядно представлена в виде направленного графа. Буквы, приписанные точкам графа, означают: G - группоид, K - квазигруппа, F - полугруппа, C - группа, A - абелева группа