16. Отображения. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм. Эпиморфизм. Эндоморфизм. Мономорфизм. Биморфизм.

• Изоморфизм (от греческих слов zosi – равный и hjrom – образ, вид, форма) – это одно из основных понятий современной математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.

• Пусть даны две системы объектов S и S/ , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k = 1, 2, ..., n, а во второй системе S/ – определены отношения F/k (x/1, x/2, ...), k = 1, 2, ..., n. Системы S и S/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x/=j(x), x = y(x/), где x – произвольный элемент системы S, а x/ – произвольный элемент системы S/, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F/k (x/1, x/2, ...), и наоборот. Отображение j называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S/, а обратное ему отображение y – изоморфизмом системы S/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S/ обозначается следующим образом: S@S /.

• Гомоморфизм – (от греческих слов zomo – равный, одинаковый и hjrom) – отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).

Пример:

{Zn,+} и {Z2n,+}

G: n – 2n

1. c=a+b

2. G: 2c=2a+2b=c’

3. G: a’=2a

4. G: b’=2b

5. 2a+2b=c’’

6. 2a+2b=2a+2b

• Автоморфизм (от греческих слов zotua – сам и hjrom) – изоморфизм некоторой системы объектов на себя.

• Эндоморфизм – (от греческих слов nodne – внутри и hjrom) – гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя.

• Эпиморфизм – (от греческих слов ipe – на, над, при, после и hjrom) или, что то же самое, сюръективное отображение (сюръекция) множества A на множество B – отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B.

• Мономорфизм – (от греческих слов zonom – один и hjrom) или, что то же самое, инъективное отображение (инъекция) множества A в множество B – отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением.

• Биморфизм– (от латинского bi – двойной, двоякий и hjrom) или, что то же самое, биективное отображение (биекция) –мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

гомоморфизм эндоморфизм

все A  (в, на) B все A  (в, на) A

изоморфизм автоморфизм

A  B (вз.одн.) A  A(вз.одн.)

эпиморфизм (сюръекция)

все A  (на) B

мономорфизм (инъекция, вложение)

все A  (в, на) B (вз.одн.)

Биморфизм (биекция) = Мономорфизм + Эпиморфизм