22. Решетка (структура). Решетка как частично упорядоченное множество.

Решетка, структура, — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры решеток:

1) множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;

2) всякое линейно упорядоченное множество; причем если a £b, то sup{a, b} = b, а inf {a, b} = a;

3) множество всех надпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf — пересечение, а sup — сумма соответствующих надпространств;

4) множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a £b , если b = ac для некоторого c. Здесь sup — наименьшее общее кратное, а inf — наибольший общий делитель данных чисел;