8. Соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Замкнутое подмножество.

• Всякое соответствие R Í A ´ B устанавливает т.н. соответствие Галуа между подмножествами множества A и подмножествами множества B.

• Именно, если X Í A, то через G (X) обозначается пересечение  Ç a Î X im R a;

• Аналогично, для Y Í B вводится множество G–1(Y)= Ç b Î Y coim R b.

• Пусть X* = G–1 (G (X)), Y* = G(G–1(Y)), тогда X Í X*, Y Í Y*;

Из X1 Í X2 следует G (X1) Ê G (X2);

из Y1 Í Y2 следует G–1(Y1) Ê G–1(Y2);

X** = X*; Y** = Y*.

• Подмножество X Í A  (Y Í B) называется замкнутым, если X = X* (Y = Y*). Соответствие Галуа устанавливает биективное соответствие между замкнутыми подмножествами в A и B.

Пример:

Множество А: {Лена, Петя, Маша, Вася, Женя, Эллочка}

Множество B: {Горький, Достоевский, Лермонтов, Некрасов, Пушкин, Толстой, Фет}

Множество R (подмножество множества AxB): (Лена, Некрасов); (Лена, Фет); (Петя, Горький); (Петя, Пушкин); (Петя, Толстой); (Маша, Пушкин); (Маша, Лермонтов);(Вася, Пушкин); (Вася, Достоевский); (Женя, Фет); (Вася, Толстой); (Женя, Горький)

Поставим вопрос об общности интересов. Выберем:

Множество Х: {Маша, Вася}

Множество im R Маша: {Пушкин, Лермонтов}

Множество im R Вася: {Достоевский, Толстой,Пушкин}

Кстати, множество im R Эллочка: Æ

Множество Г(Х) = im R Маша Ç im R Вася: {Пушкин}

Найдем подмножество со сходными интересами:

Множество Х* = Г-1(Г(Х)) = Г-1({Пушкин}) =

coim R Пушкин: {Петя, Маша, Вася}