10.4.2. Метод подбора частного решения

(МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ)

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами

и только в том случае, когда правая часть имеет следующий специальный вид:

–многочлен -ой степени,

или

–многочлены -ой и-ой степеней соответственно.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида I типа:

(10.22)

где .

Будем полагать, что некоторое частное решение дифференциального уравнения (10.22) имеет вид, аналогичный правой части, то есть представляется произведением и многочлена-ой степени. Неизвестные коэффициентымногочленаподберем так, чтобы функция

(10.23)

обращала дифференциальное уравнение (10.22) в тождество. Для этого найдем производные

и подставим в (10.22):

.

Сократив на и перегруппировав слагаемые, получим:

. (10.24)

Заметим, что так как – многочлен-ой степени, тоимеет степень, а– степень.

Рассмотрим следующие случаи:

а) не является корнем характеристического уравнения (10.15), то есть . Тогда в правой части (10.24) стоит многочлен-ой степени и в левой – также многочлен-ой степени, но с неопределенными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхсправа и слева, получим систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных.

б) –простой корень характеристического уравнения (10.15), то есть . Тогда (10.24) не может быть тождеством: в левой части стоит многочлен степени. Поэтому в данном случае частное решение надо искать в виде произведенияи многочлена-ой степени без свободного члена, который при вычислении производнойпропадает:

. (10.25)

в) –корень кратности 2 характеристического уравнения (10.15), то есть, . Как было показано ранее, из теоремы Виета следует, что в этом случае. Тогда в левой части (10.24) стоит многочлен степени, и чтобы (10.24) было тождеством, частное решение следует искать в виде произведенияи многочлена-ой степени без двух последних слагаемых, которые при вычислениипропадают.

Таким образом,

. (10.26)

ПРИМЕР. Найти вид частного решения дифференциального уравнения в случаях, когда

а) , б), в).

Составим и решим характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения :.

а) Специальная правая часть I типа в общем случае имеет вид . В данном случае а не является корнем характеристического уравнения. В соответствии с (10.23) , где– неопределенные коэффициенты.

б) В этом случае а –простой корень характеристического уравнения, поэтому частное решение имеет вид (10.25):

,

где А и В – неопределенные коэффициенты.

в) Эта правая часть также имеет специальный вид: 4 – многочлен нулевой степени, а среди корней не встречается. Отсюда , где– неопределенный коэффициент.

ПРИМЕР. Найти вид частного решения дифференциального уравнения в случаях, когда

а) , б).

Характеристическое уравнение: .

а) корнемне является, поэтому в соответствии с (10.23)

.

б) –корень кратности 2, поэтому частное решение имеет вид (10.26):

.

ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Выше были найдены корни характеристического уравнения, поэтому по теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

Частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид . Чтобы найти коэффициенты, подставим эту функцию в уравнение:,

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим:

.

Таким образом, по теореме о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения является искомым общим решением.

Рассмотрим теперь правую часть специального вида II типа

где многочлены соответственно -ой и-ой степеней.

По формуле Эйлера (10.16): ,

отсюда

.

Заметим, что степень многочленов равна.

После такого преобразования правой части рассмотрение случая II сводится уже к рассмотренному случаю I, именно:

а) если не является корнем характеристического уравнения (10.15), то

, (10.27)

где – многочлены степенис неопределенными коэффициентами;

б) если –корень характеристического уравнения и , то

. (10.28)

ПРИМЕР. Найти вид частного решения дифференциального уравнения в случаях, когда

а) , б).

Характеристическое уравнение имеет корни.

а) Специальная правая часть II типа в общем виде имеет вид

.

В данном случае , поэтому. Комплексное числокорнем не является, а.

Поэтому частное решение запишется по формуле (10.27):

,

где А, В, С, D – неопределенные коэффициенты.

б) В этом случае . Комплексное числокорнем не является, поэтому и здесь частное решение имеет вид (10.27):

,

где А, В – коэффициенты, которые надо определить.

Следует обратить внимание на то, что, несмотря на отсутствие в правой части уравнения , частное решение ищется как линейная комбинацияобеих функций и.

ПРИМЕР. Найти вид частного решения дифференциального уравнения в случаях, когда

а) , б).

Характеристическое уравнение имеет корни.

а) . Комплексное числоявляется корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение в этом случае записывается по формуле (10.28):

,

где А, В – неопределенные коэффициенты.

б) . Комплексное числоне является корнем характеристического уравнения,, поэтому частное решение имеет вид (10.27):

,

где – коэффициенты, подлежащие определению.

ПРИМЕР. Уравнение вынужденных колебаний груза, подвешенного к концу пружины, под действием периодической возмущающей силы имеет вид:, где– собственная частота пружины,– частота возмущающей силы.

Найти закон движения груза, если .

Пусть ¸,, тогда решение этой задачи сводится к решению задачи Коши,.

Составим и решим характеристическое уравнение: . Отсюда– общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (см. п.10.3.3).

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения является правой частью специального видаII типа. Сравнение этой функции с общим видом такой правой части показывает, что . Комплексное числоне является корнем характеристического уравнения, поэтому в соответствии с (10.27)

.

После подстановки в исходное дифференциальное уравнение получим:

.

Отсюда и. По теореме 4 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения общее решение имеет вид

.

По условию ;.

Откуда – по такому закону совершаются колебания груза в рассматриваемом примере, когдачастота возмущающей силы не совпадает с собственной частотой пружины. В этом случае амплитуда колебаний – наибольшее отклонение груза от положения равновесия – с течением времени не меняется и остается ограниченной: .

Выясним, каким будет уравнение движения груза, если .

Для этого решим аналогичную задачу Коши для уравнения .

Сравнивая правую часть с общим видом специальной правой части II типа, видим, что. Комплексное числоявляется корнем характеристического уравнения, потому в соответствии с (10.28)

.

После подстановки в уравнение получим: , откудаи частным решением в этом случае является функция. Тогда– общее решение дифференциального уравнения.

По условию ;. Следовательно– уравнение движения груза. Очевидно, что с течением времени амплитуда этих колебаний неограниченно растет:. В таком случае говорят, что наступаетрезонанс.

Итак, резонанс наступает тогда, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний пружины.