§ 9. Применение алгебры высказываний к анализу и синтезу электрических схем.

На множестве переменных высказываний x₁, x_{2, ...,} x_n, принимающих два значения И и Л. Мы ввели пять логических операций, которые позволяют получать всевозможные формулы алгебры высказываний, принимающие также два значения - И и Л.

В связи с этим любую формулу алгебры высказываний от n переменных F(x₁, x₂, ..., x_n) можно рассмотреть как функцию f(x₁, x₂, ..., x_n), каждый аргумент которой принимает значение из {И, Л} и сама функция принимает значения также из этого множества. Такие функции в математической логике называются функциями алгебры логики или булевыми функциями по имени английского математика Джорджа Буля, который первым начал применять математические методы в логике (1815 - 1864).

Возникает вопрос: каково практическое значение алгебры высказываний и в частности формул алгебры высказываний?

В повседневной жизни мы используем различные электрические приборы. В основе этих приборов лежат электрические схемы, на базе которых приборы строятся.

1. Пусть произвольному высказыванию x_i, принимающему два значения И и Л, поставлен во взаимнооднозначное соответствие некоторый прибор P_i, который в данный отрезок времени t_i либо работает, либо не работает.

x_it  p_i

2. Каждой конъюнкции x₁  x₂ поставим во взимнооднозначное соответствие последовательное соединение приборов p₁ и p₂.

x ₁  x₂ 

3. Каждой дизъюнкции x₁  x₂ поставим во взаимнооднозначное соответствие параллельное соединение приборов p₁ и p₂.

x₁  x₂

Тогда любой формуле алгебры высказываний F(x₁, x₂, ..., x_n) можно поставить во взаимнооднозначное соответствие электрическую схему S(p₁, p₂, ..., p_n) некоторого сложного электрического устройства.

Так как формулы алгебры высказываний можно упрощать, то алгебра высказываний позволяет производить упрощение электрических схем.

Составление электрических схем называют синтезом схем, упрощение - анализом схем.