§ 10. Приложение алгебры высказываний к вопросам школьной математики.

Теория алгебры высказываний помогает лучше осмыслить некоторые вопросы школьной математики: теоремы, их виды и взаимосвязь; необходимые и достаточные условия; корректность формулировок теорем, определений и другие вопросы.

1. Теоремы, их основные виды и взаимосвязь.

Под теоремой понимают всякое предложение, истинность которого доказывается с помощью соответствующих логических рассуждений.

Условимся всякую теорему символически записывать так A  B, А называют условием теоремы, В- ее заключением.

Если в прямой теореме A  B поменять местами условие и заключение, то получим так называемое обратное утверждение, которое символически записывается так В  А. Многие обучающиеся считают, что если верна прямая теорема, то всегда верно и обратное утверждение. Это заблуждение легко опровергается средствами алгебры высказываний, так как формулы А  В и В А не является равносильными. Поэтому из истинности прямой теоремы не всегда следует истинность обратного утверждения.

Например. Прямая теорема “Если два угла вертикальные, то они равны между собой” истинна, а обратное утверждение “Если два угла равны между собой, то они являются вертикальными” - ложно.

Если утверждение, обратное прямой теореме истинно, то его называют обратной теоремой.

Теорема, в которой отрицается и условие и заключение прямой теоремы, называют противоположной теоремой и символически записывают .

Теорема, в которой отрицается и условие и заключение обратной теоремы, называется противоположной обратной теоремой и символически записывается .

Эти четыре вида теорем связаны между собой. Их взаимосвязь вытекает из закона контрапозиции из которого следует, что прямая и противоположная обратной теоремы равносильны между собой. Аналогично на основании этого же закона обратная и противоположная теоремы равносильны между собой.

Изобразим схематично эту взаимосвязь

Из всего вышеизложенного следует, что в математике различают четыре вида теорем, которые попарно эквиваленты между собой. Поэтому из четырех теорем доказывать следует только две, причем из двух равносильных теорем доказывают ту, которую проще доказать!

2. Необходимые и достаточные условия

В любой теореме условия и заключения связаны между собой. Эта связь выражается словами необходимо и достаточно; достаточно, но не необходимо; необходимо, но не достаточно.

Если утверждение является истинным, то высказывание А является достаточным условием для высказывания В, а высказывание В является необходимым условием для высказывания А.

Например. В теореме “если натуральное число а делится на 4, то его последняя цифра является четной” высказывание “делимость числа а на 4” является достаточным условием для того, чтобы последняя цифра числа была четной”, а высказывание” последняя цифра является четной” есть необходимое условие для делимости числа а на 4”.

Если утверждение является истинным, а обратное ему утверждение ложно, то высказывание А является достаточным, но не необходимым условием для высказывания В, а высказывание В есть необходимое, но не достаточное условие для высказывания А.

Если прямое и обратное утверждения истинны, то высказывания А и В выражают необходимые и достаточные условия друг для друга. В этом случае оба эти утверждения объединяют в одну теорему и символически записывают так .

Например. “Для того, чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3”.

Часто в таких теоремах вместо слов “необходимо и достаточно” употребляют сочетания “тогда и только тогда, когда” или “в том и только в том случае, когда”.

В школьных учебниках теоремы, выражающие необходимое и достаточное условия часто называют признаками, но в своей формулировке они содержат логическую погрешность, так как в них формулируется только одна теорема, а обратная лишь подразумевается.

Например, третий признак равенства треугольников. “Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны”.

Однако, на практике мы пользуемся и обратной теоремой, на что формально не имеем права, то есть из равенства двух треугольников мы необоснованно делаем вывод о равенстве соответствующих сторон данных треугольников.

Аналогичная картина наблюдается не только в школьной, но и в вузовской математике с формулировкой некоторых определений понятий.

Например, в вузовских пособиях дается следующее определение делимости “Целое число а делится без остатка на отличное от нуля целое число b, если существует такое целое число q, которое удовлетворяет условию а = bq”.

Строго логически это определение должно быть таким “Целое число а делится без остатка на отличное от нуля целое число b, тогда и только тогда, когда существует такое целое число q, которое удовлетворяет условию а = bq”.