15. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- уравнение (1).- задача Коши (2)
Теорема Коши-Пикара:пусть дано (1) и поставлена задача Коши (2). Если в областиудовлетворяет условиям: 1) определена и непрерывна по совокупности переменных; 2) условие Липшица, то задача Коши имеет единственное решение, определенное, непрерывное, непрерывно дифференцируемое, по крайней мере, в окрестности,, где,.
Доказательство:
Утверждение 3:присуществует, и- непрерывная функция.
Доказательство:приимеем функциональный ряд, причем. Если доказать, сходимостьк, то будет доказано и утверждение.
Оценим: ,
Предположим, что и докажем, что
, т.к., тогда каждый член ряда по модуля меньше соответствующего элемента числового ряда, он сходится по признаку Даламбера:. Таким образом,сходится равномерно по признаку Вейерштрасса для любого. Каждый член ряда непрерывная функция, следовательно,также непрерывна.
- 1. Основные понятия о ду.
- 2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
- 3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
- 4. Качественное исследование ду-1-проп. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.
- 5. Особые решения ду-1-проп. Способы их отыскания.
- 6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
- 8. Ду 1 порядка, приводимые к однородным.
- 9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
- 10. Ду 1 порядка, приводимые к линейным. Ду Бернулли и Риккати
- 11. Ду 1 порядка в полных дифференциалах.
- 12. Интегрирующий множитель ду 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения
- 13. Интегрирующий множитель для ду с разделяющимися переменными, однородного и линейного.
- 14. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.
- 15. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- 16. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.
- 17. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.
- 18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.
- 19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
- 20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
- 21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
- 22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.
- 23. Ду-1-пнроп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.
- 24. Теорема Коши-Пикара для ду 1 порядка, не разрешенного относительно производной.
- 25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
- 26. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие искомой функции.
- 27. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
- 28. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Общий случай.
- 29. Ду Лагранжа
- 30. Ду Клеро