22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.

Прежде чем применять численные методы надо убедиться, что решение существует и единственно. Пусть дано уравнение и требуется найти нарешение задачи Коши. Разделим отрезок на части,. Рассмотримкак малую, и считая решение достаточно гладким, представимв виде ряда Тейлора:. Различные численные методы различаются числом учтенных членов разложения и степенью оценки производных.

Численные методы разделяются на одношаговые (на каждом шаге используется только одно предыдущее значение искомой функции) и многошаговые (несколько значений).

Порядок членов, учитываемых при аппроксимации – порядок метода.

Метод Эйлера (I порядка):. ИК приближаются ломаной, звенья которой состоят из отрезков касательных.

Метод улучшенной ломаной Эйлера (II порядка):,,

Метод Рунге-Кутта (IV порядка):,,,,.

Метод Рунге-Кутта в модификации Мерсона (V порядка):,,,,,. Этот метод позволяет регулировать шаг:. Если, то. Если, то. Если, то.

Метод Штермера (многошаговый II порядка):,,. Для начала вычисления надо знать значенияи.задается,вычисляется методом Рунге-Кутта или улучшенной ломаной Эйлера.

Погрешность: погрешность шага; погрешность накопления ошибок; ошибки конечноразрядной арифметики при использовании ЭВМ.

Оценки погрешности имеют сложный вид, так что, исходя из заданной точности выбирают шаг и производят вычисления. Берут шаги вычисляют. Если в общих точках значения совпадают с заданной точностью, то считают, что шаг обеспечивает точность.