ДУ 3 семестр билеты

9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.

Линейное уравнение. Предполагается, что,- непрерывные функции на. Если, тогда уравнение называется линейнымоднородным, иначе –неоднородным.

Теорема:еслиинепрерывны на, то уравнениев каждой точке полосыимеет единственное решение.

Доказательство:.- непрерывная, значит, теорема Коши-Пикара выполняется и теорема доказана.

Следствие:Линейное ДУIпорядка не имеет особых решений в области непрерывности коэффициентов.

Свойства ЛОДУ :

Существует тривиальное решение
Любое другое решение
(,, следовательно)
Если - частное решение, то и- частное решение
Если - частное решение, то общее решение.

Свойства ЛНДУ :

Теорема (о структуре общего решения):

Доказательство:пусть известно, т.е.. Сделаем замену, тогда.

;;.

Т.к в каждой точке их области непрерывности коэффициентов линейное уравнение имеет единственное решение, то достаточно доказать, что в любой точке может быть выделено частное решение.

Пусть , тогда.

Теорема(об интегрируемости в квадратурах): в области непрерывности коэффициентов общее решении линейного уравнения может быть найдено двумя квадратурами.

Доказательство:. Для вычисленияприменим метод Лагранжа вариации произвольной постоянной. Чтобы найтинадо продифференцироватьи подставить.

Если известно одно - частное решение неоднородного уравнения, то общее решение находится квадратурой
Если ,- частные решения неоднородного уравнения, то общее решение соответствующего однородного уравнения.

Доказательство:;, значит,

Если известны ,- частные решения неоднородного уравнения, то его общее решение находится без квадратур.Доказательство:

Замечание:некоторые уравнения становятся линейными, если поменять местами функцию и независимую переменную. Некоторые уравнения решаются заменой переменных.

Содержание