25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
Особое решение– решение, содержащее континуум особых точек.
Отыскание кривых, подозрительных на особое решение:
1. По виду ДУ.
Ищем ГМТ, в которых нарушаются условия теоремы Коши-Пикара, т.е. дискриминантную кривую из системы: . Исключаем, полученная функция-дискриминантная кривая.
Замечание: особое решение может состоять только из точек ДК, но ДК может быть также ГМТ особых точек (возврата, заострения, прикосновения ИК, отвечающих разным ветвям уравнения).
2. По виду общего интеграла.
Ищется огибающая семейства ИК, составляющих общее решение. Из системы исключаем. Полученная функция-огибающая
Замечание:1) наряду с огибающей, эта кривая может быть геометрическим местом особых точек (возврата, узловых, и т.д.). кривая заведомо будет огибающей, если существует непрерывные, ограниченные и не равные 0 частные производныеи. Однако эти условия лишь достаточны, так что кривая, на которой они нарушены, может быть огибающей; 2) если ДК – особое решение, то она является огибающей семейства ИК, составляющих общее решение; 3) огибающая всегда составляет часть дискриминантной кривой.
Проверка кривой , подозрительной на особое решение.
Проверить, является ли она решением
Подставить в общий интеграл. Получим. Разрешим относительно. Возможны варианты:
не существует, тогда- не особое решение, его надо приписать к общему
, тогда- не особое решение
, тогдаможет быть особым решением, следует проверить наклоны в этой точке.
Пусть - кривая из семейства общего решения с найденным, а. Если, то- особое решение.
Пусть ,. Продифференцируем:,. Если, то- особое решение.
- 1. Основные понятия о ду.
- 2. Ду-1-проп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Задача Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.
- 3. Геометрическая интерпретация ду-1-проп. Поле направлений. Интегральная кривая. Геометрический смысл задачи Коши. Обыкновенная и особые точки.
- 4. Качественное исследование ду-1-проп. Изоклины. Линия экстремумов и линия перегибов интегральных кривых.
- 5. Особые решения ду-1-проп. Способы их отыскания.
- 6. Ду 1 порядка с разделяющимися переменными и приводимые к ним.
- 8. Ду 1 порядка, приводимые к однородным.
- 9. Линейные ду 1 порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольной постоянной.
- 10. Ду 1 порядка, приводимые к линейным. Ду Бернулли и Риккати
- 11. Ду 1 порядка в полных дифференциалах.
- 12. Интегрирующий множитель ду 1 порядка. Способы его нахождения. Связь с особыми решениями. Число интегрирующих множителей данного уравнения
- 13. Интегрирующий множитель для ду с разделяющимися переменными, однородного и линейного.
- 14. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Метод последовательных приближений Пикара построения решения.
- 15. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к непрерывной функции.
- 16. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство сходимости пикаровских приближений к решению задачи Коши.
- 17. Теорема Коши-Пикара для ду-1-проп. Доказательство единственности решения. Метод Пикара как приближенный метод решения задачи Коши.
- 18. Теорема о продолжении решения задачи Коши. Продолжаемые и непродолжаемые решения.
- 19. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров.
- 20. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных условий.
- 21. Степень гладкости решения задачи Коши. Дифференцируемость решения по начальным данным и параметрам.
- 22. Численные методы интегрирования ду 1 порядка. Методы I и II порядка. Одношаговые и многошаговые методы. Особенности численного моделирования решения ду.
- 23. Ду-1-пнроп. Решение. Общее решение, частное решение. Общий интеграл. Поле направлений. Постановка задачи Коши.
- 24. Теорема Коши-Пикара для ду 1 порядка, не разрешенного относительно производной.
- 25. Особые решения ду-1-нпроп. Способы отыскания. Дискриминантная кривая. Огибающая семейства интегральных кривых.
- 26. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие искомой функции.
- 27. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
- 28. Методы интегрирования ду-1-пнроп. Общий случай.
- 29. Ду Лагранжа
- 30. Ду Клеро