Деление с остатком.

Деление c остатком (деление по модулю) — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел и алгебре. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом^[1]. Пусть  и  — целые числа, причём  Деление с остатком  («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел  и , что выполняется равенство:

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа:  называется неполным частным от деления, а  — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие:  то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что  нацело делится на 

Примеры.

• При делении с остатком положительного числа  на  получаем неполное частное  и остаток .

Проверка: 

• При делении с остатком отрицательного числа  на  получаем неполное частное  и остаток .

Проверка: 

• При делении с остатком числа  на  получаем неполное частное  и остаток , то есть деление выполняется нацело.

19. Содержание

    • Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.
    • Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.
    • Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.
    • Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.
    • Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.
    • Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.
    • Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.
    • Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.
    • Наименьший элемент
    • Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.
    • Свойства множества натуральных чисел.
    • Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.
    • Множество целых неотрицательных чисел.
    • Деление с остатком.
    • Предмет и значение логики. Понятие. Объем и содержание понятия. Основные операции над понятиями.
    • Определение понятий. Виды определения понятий. Требования к правильному определению понятий.
    • Простые суждения. Структура простого высказывания. Классификация простых высказываний.
    • Состав простого суждения
    • Сложные высказывания. Логические операции : отрицание простых и сложных высказываний. Таблицы истинности.
    • Отношение логического следования и логической равносильности. Теорема. Структура теоремы и виды теорем.
    • Умозаключения. Общая характеристика и виды умозаключений.
    • Основные правила построения умозаключений . Проверка правильности умозаключений.
    • Индуктивные умозаключения и их виды. Умозаключения по аналогии.
    • Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.
    • Доказательство утверждений методом математической индукции.