13. Понятие нечеткого множества. Функция принадлежности. Способы формализации нечетких множеств. Наиболее распространенные параметрические функции принадлежности.

Пусть Е есть множество, счетное или нет, и x — элемент Е. Тогда нечетким подмножеством А множества Е называется множество упорядоченных пар

{(x| mA(x))}, " x Î Е,

где mA(x) — степень принадлежности x в А. Таким образом, если mA(x) принимает свои значения во множестве М значений функции принадлежности или, короче, во множестве принадлежностей, то можно сказать, что x принимает значение в М посредством функции mA(x). Эта функция также называется функцией принадлежности.

• Нечеткое множество А называется пустым, если mA(x) = 0, " x Î Е

• Носителем нечеткого множества А называется обычное подмножество таких точек Е, для которых величина mA(x) положительна. Носитель обозначается S(A) или Supp A: S(A) = {x| x Î Е, mA(x) > 0}

• Высотой h(A) нечеткого множества А называется величина h(A) = sup mA(x)  по всем x Î Е

  • Нечеткое множество А называется нормальным, если его высота равна единице. В противном случае нечеткое множество А субнормально.

• Элементы множества Е, для которых степень принадлежности mA(x) = 0.5 называются точками перехода нечеткого множества

• Пусть A и B — нечеткие подмножества. Будем говорить, что A содержится в B, и обозначать A Í B, если " xΠЕ, mA(x) £ mB(x)

• Множеством a -уровня нечеткого множества А является обычное множество Аa всех таких элементов универсального множества Е, степень принадлежности которых нечеткому множеству А больше или равна a:

Aa = {x |" xΠЕ, mA(x) ³ a }.

• Множество a -уровня называют иногда сечением a нечеткого множества А. Причем, если mA(x) ³ a , то говорят о сильном сечении, если mA(x)  > a, то о слабом сечении.

• Нечеткое множество А можно разложить по его множествам уровня следующим образом:

где a Aa — произведение числа a на множество Aa. Знак S — знак объединения множеств Aa по a .