Объёмный потенциал
Потенциал поля, созданного зарядами, распределёнными в области с плотностью, равени называется объёмным потенциалом.
Свойство 1. Объёмный потенциал определён и непрерывен всюду.
Если , то интегралне является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция, непрерывна в точке, то непрерывен в этой точке и интеграл.
Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость, интеграла в окрестности точки. Для этого оценим интеграл:, мы увеличили область, поместив всё в шар, радиуса. Перейдём в последнем интеграле к сферическим координатам и получим тогда:, чтобы интеграл был меньше заданного, достаточно взять.
Свойство 2. Объёмный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки.
Если , то интегралне является не собственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки, имеет в точкенепрерывные частные производные первого порядка по координатам точки, то этим свойством обладает и интеграл, причём производные вычисляются путём дифференцирования под знаком интеграла:,,- (1), где- координаты точки.
Если , то, согласно теореме и замечанию, достаточно доказать равномерную сходимость в окрестностях точкиинтегралов от производных в правых частях формул. Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причём для производных,исправедливы формулы (1). Для определённости рассмотрим интеграл:. Оценим его:, т.к..
Далее, , достаточно взятьдля того, чтобы выполнялось неравенство.
Свойство 3. Объёмный потенциал является гармонической функцией вне области , в которой расположены заряды (массы). Это свойство следует из того, что для точекинтегралне является не собственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла:
, т.к. для точек (а точнееP≠Q) имеем .
Свойство 4. в точках области объёмный потенциал удовлетворяет соотношению:, т.к.,.
Вторые производные рвутся.
Свойство 5. При стремлении точки наблюдения к бесконечности объёмный потенциал стремится к нулю (- огр.).
Применим теорему о среднем: , где- суммарный заряд. Т.о..
- Оглавление
- Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением, понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с операторомс особенностью, свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, ,,,понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: ,её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задачас двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора.
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.