3. Алгебра многочленов

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме "Алгебра многочленов".

Key words: Coefficient, CoefficientList, Expand, Collect, MonomialList, Factor, FactorList, Decompose, PolynomialQuotient, PolynomialRemainder, ReplaceAll (/.), PolynomialGCD, Apart, Cancel, Solve, Resolve.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1) Mathematics and Algorithms Polynomial Algebra;

2) Mathematics and Algorithms Formula Manipulation Algebraic Transformations;

3) Mathematics and Algorithms Equation Solving.

Всякий многочлен (polynomial) от числовой переменной степени представляет собой алгебраическое выражение вида

() - числовыекоэффициенты, -свободный член, -старший коэффициент. Конкретный многочлен может иметь свое имя. Многочлены всех степеней с коэффициентами, принадлежащими одной и той же числовой системе (), образуют некую алгебраическую систему⁸. В каждой системе многочленов выполнимы следующие алгебраические операции:линейные операции (сложение многочленов и умножение многочлена на число); умножение многочленов. Все эти операции могут быть получены как частные случаи единой записи:

где ,,- имена многочленов, аи- числовые множители.

При работе с многочленами в программе WM7 функция Coefficient (или CoefficientList) позволяет получать отдельные коэффициенты (соотв., все коэффициенты единым списком). Чтобы привести тот или иной многочлен к требуемому виду рекомендуется использовать преобразования с именами: Simplify (упростить) или FullSimplify; Expand (разложить, т. е. представить в виде суммы одночленов); Factor (факторизовать, т. е. представить в виде "нетривиального" произведения каких-то многочленов); и т. п.

При делении многочлена на многочленс остатком требуется найти такие многочленыи, что

, .

Как известно, этими условиями многочлены иопределяются однозначно:-результат деления (quotient), а -остаток (remainder). Если , тоделится на , а-делитель многочлена . Программа WM7 предоставляет функции PolynomialQuotient и PolynomialRemainder для нахождения как результата деления (многочлена на многочлен), так и остатка.

Всякое число называетсякорнем многочлена , еслипринимает значение 0 при. Как известно, при делении многочленаналинейный многочлен вида возникает числовой остатокв точности равный значению данного многочленапри. Этот факт, составляющий содержаниетеоремы Безу, может служить основой для альтернативного определения⁹корня многочлена. Числоявляетсякорнем многочлена , еслиделится (без остатка) на линейный многочлен вида. Более того, числоназываетсякорнем кратности для многочлена, еслиделится (без остатка) на многочлен, но не делится на. При этом различают корни:простые () икратные ().

Чтобы найти корни многочлена и определить их кратности, нередко используют его производную. Основанием служит критерий:число является корнем кратностидля многочленатогда и только тогда, когдаявляется общим корнем многочленаи его производных, ,, но не является корнем производной . Для данного многочленаи его производнойможно определить ихнаибольший общий делитель (НОД):

.

Многочлены иимеют одно и то же множество корней, причем все корни многочленапростые. Возможные случаи:

●   Если , то все корни многочленапростые.

●   Если , то множество всех корней многочленасовпадает с множеством всех кратных корней многочлена.

В конечном счете все сводится к нахождению хотя бы одного корня.

Если требуется найти корни данного многочлена , то выбор того или иного способа их нахождения не имеет особого значения, поскольку всегда можно сделать проверку. В этом отношениипрограмма WM7 предоставляет различные возможности. В частности, чтобы вычислить значение многочлена при, можно написать подстановку в форме замещения (ReplaceAll) по правилу:

Чтобы получить значения многочлена для некого списказначений переменной, можно написать:

Производные имогут быть найдены следующим образом:

Значения этих производных при вычисляются через подстановку:

В случае необходимости можно составить список значений многочлена и всех его производных при :

Системная функция PolynomialGCD позволяет определить НОД многочленов (the Greatest Common Divisor of polynomials). В частности, для определения НОД многочлена и его производнойможно использовать формулировку:

Нередко процедура факторизации многочленов илис использованием преобразованияFactor ведет к успеху, если удается выделить делители в виде степеней линейных и/или квадратичных многочленов. Делители в виде степеней кубических многочленов тоже поддаются анализу, поскольку программа WM7 справляется с решением кубических уравнений.

Другие возможности программы WM7 связаны с применением решателя Solve, предназначенного для поиска решений уравнений. Всякий корень многочлена являетсячастным решением уравнения . Чтобы найти все частные решения этого уравнения, можно написать (с присвоением имени):

Программа возвращает найденные решения списком всех замещений корней в формате. Списоквсех замещений корней или его множество могут быть использованы в дальнейших вычислениях путем подстановки в выражения. Список всех корней и его множество могут быть получены следующим образом:

В списке кратные корни повторяются, причем число повторений одного и того же корня равно его кратности. Множество этого списка содержит только различные корни.

В курсах алгебры нередко встречается полезная задача о нахождении рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. С целью анализа этой задачи применяют известный факт: Если несократимая дробь целых чиселиявляется корнем многочленас целыми коэффициентами, то- делитель свободного члена,- делитель старшего коэффициента .