4. Векторы и матрицы

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме "Векторы и матрицы".

Key words: Dot (.), Norm, VectorAngle, Projection, MatrixForm, IdentityMatrix, DiagonalMatrix, RotationMatrix, Inverse, Transpose, Det, Tr, Eigenvalues, Eigenvectors, Eigensystem, CharacteristicPolynomial.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1) Mathematics and Algorithms Matrices and Linear Algebra;

2) Notebooks and Documents Mathematical Typesettings.

В линейной алгебре всякий список, состоящий из действительных чисел, рассматривается как арифметический вектор (далее просто вектор), причем длина списка служит размерностью вектора. Векторы одной и той же длины образуютарифметическое векторное пространство (действительное) размерности . Общий вид вектора размерности:

.

В каждом арифметическом векторном пространстве (ВП) фиксированной размерности () выполнимы линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:

,

где и- векторы,и- скаляры. При этом нулевой списокдлины рассматривают как нулевой вектор.

В арифметическом ВП размерности вводят стандартное скалярное произведение двух векторов:

.

Арифметическое ВП со скалярным произведением рассматривается как евклидово ВП. В евклидовом ВП определяют норму вектора по формуле:

.

Справка. В аналитической геометрии арифметические векторы возникают естественным путем как списки координат точек по отношению к системе координат с началом . Всякая точкаи еерадиус-вектор имеют единый список координат, так что- этодлина вектора . Если точкииимеют координатные спискии, тоевклидово расстояние между этими точками выражается формулой:

.

При работе с векторами в программе WM7 скалярное произведение (Dot) и норма вычисляются следующим образом:

Тест на ортогональность векторов ():

Угол между векторами и:

Проекция вектора на вектор:

В ряде разделов математики (и не только в линейной алгебре) широко используются матрицы. Всякая прямоугольная таблица чисел (строк истолбцов) рассматривается как числовая матрица размера. Общий вид матрицы размера:

.

Матрицы одного и того же размера образуют некую алгебраическую систему (векторное пространство), в которой выполнимы линейные операции: сложение матриц и умножение матрицы на действительное число (скаляр). Эти операции являются частными случаями общей формы:

,

где и- матрицы,и- скаляры. Как известно, существует правило умножения матрицыразмерана матрицуразмера(справа). При таком умножении получается матрица размера.

В системе Mathematica всякий матричный объект рассматривается как список списков: 1-ую позицию списка занимает список элементов 1-ой строки, 2-ую позицию списка занимает список элементов 2-ой строки, и т. д. При желании можно рассматривать матрицу размера как списоквекторов размерности. Ввод матрицы делается следующим образом:

Чтобы извлечь элемент данной матрицы, можно написать:

Умножение матриц выполняется с помощью функции Dot (.):

Наибольший интерес представляют квадратные матрицы (). Всеквадратные матрицы одного и того же размера образуют более совершенную алгебраическую систему (алгебру матриц), в рамках которой выполнимы следующие алгебраические операции: линейные операции (сложение матриц и умножение матрицы на действительное число); умножение матриц. Эти операции являются частными случаями общей формы:

,

где ,,- квадратные матрицы размера,и- скаляры. Особое положение в алгебре матриц занимает единичная матрица. Далее, матрицаназываетсяобратимой, если существует обратная матрица (обозначается через :

.

Вопрос о существовании обратной матрицы тесно связан с вычислениемопределителя матрицы. Если, то обратная матрицасуществует и может быть найдена известными способами.

С использованием обратной матрицы можно решать линейные матричные уравнения, в том числе уравнения вида , гдеи- заданные матрица, а- неизвестная матрица. Искомое решение может быть найдено по формуле:

.

(В линейной алгебре этот подход известен как метод обратной матрицы.) В частности, всякая система линейных уравнений может быть записана в матричном виде.

Система Mathematica предоставляет широкий выбор средств для работы с квадратными матрицами. В частности, чтобы вычислить определитель матрицы и найти обратную матрицу, можно написать: