2.1. Проективные координаты на проективной прямой.

Опр.2.1.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной прямой a; ¯ называется произвольная упорядоченная тройка точек этой прямой.

Проективный репер обычно обозначается буквой R , а точки, из которых он состоит – A₁, A₂ , E . Причем E называется единичной точкой репера. В дальнейшем проективный репер часто будем называть просто репером.

П усть Oa; ¯ – произвольная точка, а (; ¯ – плоскость, которая проходит через O и a; ¯. Будем все векторы в плоскости , откладывать из точки O.

Опр. 2.1.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M на прямой a; ¯ , если x;\s\up8(( лежит на прямой OM.

Будем обозначать так: x;\s\up8(( ((;\s\up8(( M , или ( x;\s\up8(( ) = M. Очевидно, что

R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ). (2.1)

Опр.2.1.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(–( , a2;\s\up8(–( } в плоскости (; ¯ порождает репер R = {A₁, A₂, E} , если ( a1;\s\up8(( ) = A₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E . Пишем: (B ) = R .

Т еорема 2.1.1. Для любого репера R на прямой a; ¯ существует единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .

Пусть R = {A₁, A₂, E} – репер на a; ¯ , Oa; ¯ . Возьмем произвольный вектор e;\s\up8(–( на прямой OE и разложим его на составляющие, лежащие на прямых OA₁ и OA₂: e;\s\up8(( = a1;\s\up8(–( + a2;\s\up8(( . Базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( } – искомый. Очевидно, подойдет и базис {a1;\s\up8(( ,a2;\s\up8(( },   0.

Опр. 2.1.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M на прямой a; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .

Из (2.1) и теоремы 2.1.1 вытекает, что эти координаты определяются с точностью до пропорциональности, т.е. данная точка в данном репере имеет не одну пару координат (x₁, x₂), а множество пар, пропорциональных друг другу. Поэтому проективные координаты точки часто записывают так: M(x₁: x₂).

Таким образом, для того, чтобы найти координаты (x₁, x₂) точки Ma; ¯ в репере R , необходимо:

1. выбрать собственную точку Oa; ¯;

2. выбрать базис B , который порождает R ;

3. выбрать вектор x;\s\up8(( на прямой OM ;

4. найти координаты (x₁, x₂) этого вектора в базисе B (они и будут

проективными координатами точки M, т.е. M(x₁: x₂)).

В частности, поскольку ( a1;\s\up8(( ) = A₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E , то A₁(1,0), A₂(0,1), E(1,1). Теперь понятно, почему точка E называется единичной.

Замечание. Позже будет показано, что координаты точки M в репере R не зависят от выбора точки O. Заметим также, что для любой точки M(x₁: x₂) числа x₁, x₂ не равны нулю одновременно: x₁² + x₂²  0.

Очень простой смысл имеют проективные координаты в репере, первая точка которого несобственная. Пусть R = {A_1 , A₂, E} – такой репер

и M – произвольная собственная точка на прямой a; ¯ . Тогда прямая OA_1 a; ¯ . Обозначим

e;\s\up8(( = OE;\s\up10( –(, e1;\s\up8(( = A2E;\s\up10( –( , e2;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( , x;\s\up8((= OM;\s\up10( –( .

Тогда A2M;\s\up10( –( e1;\s\up8(( , т.е. xR: A2M;\s\up10( –(= xe1;\s\up8(( .

Поэтому

x;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( + A2M;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(( + e2;\s\up8(( .

Значит, проективные координаты x₁: x₂ точки M в таком репере будут x:1, где x – обычная координата точки M в аффинной системе координат на прямой a; ¯ с началом A₂ и единичной точкой E . На рисунке M(3:1).

Опр.2.1.5. Проективные координаты в репере, одна точка которого несобственная, называются однородными аффинными координатами на прямой.