10.2.3. Линейные дифференциальные уравнения

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если неизвестная функция и ее производная входят в него линейно, то есть в первой степени. Такое уравнение имеет вид

. (10.6)

Если , то дифференциальное уравнениеназываетсялинейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка (оно является также дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными). Если , то уравнение называетсялинейным неоднородным.

ПРИМЕРЫ.

а) – линейное неоднородное дифференциальное уравнение;

б) – не является линейным;

в) . Разделив обе части этого дифференциального уравнения на, получим

–линейное дифференциальное уравнение;

г) – не является линейным.

Одним из методов решения уравнений вида (10.6) является метод подстановки. Идея метода состоит в том, что любая функция может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых произвольная. Например, и т.д.

Будем искать решение дифференциального уравнения (10.6) в виде произведения двух функций: . Найдеми подставим в уравнение:

.

Так как первый сомножитель в произведении можно выбрать произвольно, потребуем, чтобы функцияобращала в ноль первое слагаемое в последнем равенстве:. Тогда для нахождения функцийиполучим систему дифференциальных уравнений:

. (10.7)

Так как функция выбирается в известном смысле произвольно, то она является каким-либочастным решением первого уравнения системы (10.7). Заметим, что оно является линейным однородным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Решив первое уравнение, подставим найденную функцию во второе дифференциальное уравнение и найдем, какобщее решение этого уравнения.

ПРИМЕР. Решить задачу Коши .

Пусть .

Отсюда

Заметим, что функция не является решением дифференциального уравнения, поэтому при разделении переменных в первом из уравнений системы обоснованно полагалось, что.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь решение задачи Коши:

–искомое частное решение.