Размещения
Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.
Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.
Число размещений (читается:число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т.д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим
. (4.1)
Легко понять, что .
Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т.е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т.д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:
.
Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.
Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:
способов.
При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить
способами.
Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?
Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую –способами, и т.д. В результате получаем
способами.
Упражнения
4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?
Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .
4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).
Ответ: .
4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: .
4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Ответ: .
4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?
Ответ: .
4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?
Ответ: .
4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)
Ответ: .
- Новоселов о.В., Скиба л.П. Комбинаторика и вероятность
- Предисловие
- Введение
- Принцип умножения
- Принцип сложения
- Факториал
- Размещения
- Перестановки
- Свойства размещений и перестановок
- Сочетания
- Свойства сочетаний
- Свойства биномиальных коэффициентов
- Размещения с повторениями
- Перестановки с повторениями
- Сочетания с повторениями
- Формула включений и исключений
- Алгебра событий
- Вероятность случайных событий
- Умножение вероятностей
- Сложение вероятностей
- Вероятность появления хотя бы одного события
- Варианты самостоятельных работ Вариант №1
- Вариант №2
- Вариант №3
- Вариант №4
- Вариант №5
- Вариант №6
- Вариант №7
- Библиографический список
- Оглавление