Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
Пусть функции u,v дважды непрерывно дифференцируемы. Введём скалярное произведение: .
Формулы Грина:
1. Применим к u оператор L и перемножим скалярно с v: . Выведем эту формулу. Распишем скалярное произведение: . Рассмотрим отдельно первое слагаемое: . Для того чтобы воспользоваться формулой Гаусса - Остроградского преобразуем это выражение следующим образом - внесём под знак дивергенции так: , тогда теперь применим формулу Гаусса - Остроградского . Тогда наше скалярное произведение перепишется следующим образом: - первая формула Грина.
2. . – вторая формула Грина.
Теорема о единственности краевых задач:
Задача имеет единственное решение, если задача: имеет лишь тривиальное решение . |
Доказательство: Воспользуемся первой формулой Грина: , где , ,
Рассмотрим все три типа краевых задач:
Первая краевая задача: + = 0 – т.е. сумма 2-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда =0 , и в силу получаем, что , ч.т.д.
Третья краевая задача: из условия теоремы следует, что т.е. получаем сумму 3-х положительных величин, она равняется нулю тогда, когда .
Вторая краевая задача:
Рассмотрим два случая:
1) любая является решением - нет единственности. В качестве примера может служить следующая задача: , ч.т.д. | 2) является единственным решением.
|
Физический смысл соотношений, получаемых с помощью формул Грина.
Рассмотрим задачу и , u – решение ,
И пусть =1:
Используя 1-ую формулу Грина получаем ( , =1) т.е. если решение рассмотренной задачи существует, то для f и g выполняется условие , и решение не существует, если оно не выполняется. Это соотношение имеет физический смысл Тепло, выделяющееся источником внутри области, равно теплу, выходящему из области через границу в единицу времени.
- Оглавление
- Уравнение Лапласа и Пуассона.
- Физический смысл стационарной задачи
- Примеры
- Понятие о потенциалах
- Постановка задач
- Первая и вторая формулы Грина с оператором , следствия.
- Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства.
- Примеры
- Свойства гармонических функций.
- Теорема о среднем для гармонических функций
- Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.
- Следствия:
- Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений.
- Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения.
- Решение задач с её помощью
- Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке
- Теория потенциалов, определение, основные свойства.
- Объёмный потенциал
- Потенциал простого слоя
- Потенциал двойного слоя
- Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов
- Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах:
- Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры.
- Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи.
- Уравнение Бесселя.
- Особенность, построение ограниченного решения .
- Общее решение, , , , понятие о функциях .
- Асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя.
- Краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д.
- Модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции .
- Сводная таблица.
- Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора .
- Уравнение гипергеометрического типа.
- Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте).
- Решение в виде полиномов. Формула Родрига.
- Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей.
- Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов
- Полиномы Лежандра.
- Полиномы Чебышева-Лягера.
- Чебышева-Эрмита.
- Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида.
- Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.
- Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.
- Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.