1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.

Легко заметить, что свойства принадлежности на проективной плоскости обладают своеобразной симметрией. Например, свойства 1 и 7. Для того, чтобы эта симметрия стала более заметной, удобно ввести понятие инцидентности. Вместо выражения «точка принадлежит прямой» будем говорить «точка инцидентна прямой», а вместо «прямая проходит через точку» – «прямая инцидентна точке». Тогда свойства 1 и 7 можно переформулировать так:

1. Любые две различные точки инцидентны одной прямой и, притом, единственной.

7. Любые две различные прямые инцидентны одной точке и, притом, единственной.

Такая же симметрия наблюдается и относительно других свойств. Таким образом, имеет место следующий принцип двойственности.

Каждому утверждению на проективной плоскости относительно точек и прямых соответствует второе утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». Второе утверждение называется двойственным первому и, если истинно первое утверждение, то и истинно и двойственное ему.

В соответствии с этим принципом каждой фигуре также соответствует двойственная фигура. Примеры:

1. фигуре «прямая и три точки на ней» соответствует фигура «точка и три прямые, проходящие через нее»;

2 . фигуре «три точки, не лежащие на одной прямой, и три прямые, которые проходят через эти точки» (она называется трехвершинником) соответствует двойственная

ей фигура «три прямые, не проходящие через одну точку, и три точки их пересечения» (она называется трехсторонником). Ясно, что это одна и та же фигура.

Замечание. В проективном пространстве выполняется аналогичный принцип – «большой принцип двойственности». В любом утверждении относительно точек, прямых и плоскостей в проективном пространстве можно слово «плоскость» заменить на слово «точка», и наоборот. Утверждение останется истинным (принцип двойственности на плоскости называется малым).