Курс лекций ВМ (I семестр)
Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
Доказательство.
Необходимость. Дано, что – положительно определенная форма. Так как , то и поэтому .
Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…, Нужно доказать, что положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор и разложим его по базису :
Так как , то в разложении не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел хотя бы одно отлично от нуля.
Аналогично доказывается и второе утверждение.
Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.
Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:
-
Содержание
- А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- Курс лекций
- Введение Лекция 1. Основы математической логики
- Высказывания и логические связки
- Контрольные вопросы к теме:
- Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- Основные понятия.
- Основные операции над множествами
- Отображения.
- Отношения эквивалентности и упорядоченности
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 3. Числовые множества.
- Основные понятия
- Соединения. Бином Ньютона.
- Комплексные числа
- Операции над комплексными числами
- Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- Контрольные вопросы к теме
- Аналитическая геометрия
- Лекция 4. Векторы
- Основные понятия
- Линейные операции над векторами
- Проекция вектора на ось
- Линейная зависимость векторов
- Базис. Координаты вектора в базисе
- Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- Направляющие косинусы
- Скалярное произведение
- Векторное произведение
- Смешанное произведение
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 5. Прямая
- Основные понятия
- Взаимное расположение прямых
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 6. Плоскость
- Основные понятия
- Нормальное уравнение плоскости
- Взаимное расположение плоскостей
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 7. Кривые второго порядка
- Гипербола
- Парабола
- Исследование на плоскости уравнения второй степени
- Контрольные вопросы к теме
- Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- – Мерные векторы
- Коллинеарные векторы
- Размерность и базис векторного пространства
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 9. Матрицы
- Основные понятия
- Операции над матрицами
- Определитель матрицы
- Ранг матрицы
- Обратная матрица
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- Переход к новому базису
- Линейное преобразование переменных
- Собственные значения и собственные вектора матриц
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 11. Многочлены
- Основные понятия
- Теорема о делении с остатком.
- Теорема Безу.
- Контрольные вопросы к теме
- Понятие квадратичной формы.
- Канонический базис квадратичной формы
- Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 13. Системы линейных уравнений
- Основные понятия
- Критерий совместности системы линейных уравнений
- Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- Метод Гаусса
- Однородные системы уравнений.
- Разрешенные системы линейных уравнений
- Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- Линейное программирование
- Задача линейного программирования
- Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- Множества допустимых решений
- Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- Симплекс-метод с естественным базисом.
- Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- Теория двойственности.
- Теоремы двойственности
- Контрольные вопросы к теме
- Экзаменационные вопросы
- Литература