Высказывания и логические связки

Многие математические понятия удобно записывать в виде выражений, содержащих некоторые логические символы. Так, символ , называеый квантором общности, используется вместо слов: «для любого», «для всех», «каково бы ни было…» и т.д., а символ – квантор существования – вместо слов «существует», «найдется хотя бы один …», «имеется» и т.д.

Основной объект математической логики - высказывание. Вы­сказыванием называется повествовательное предложение, которое может быть классифицировано либо как истинное, либо как лож­ное, но не как и то и другое вместе.

Содержание высказывания несущественно: лишь бы это пред­ложение могло быть либо истинным, либо ложным. При этом вовсе не обязательно указывать способ проверки истинности. Главное, что высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Если высказывание истинно, будем говорить, что его значение ис­тинности - истина (или (от английского true); если ложно, то зна­чение истинности – ложь ( от false).

Высказывания в математической логике обычно обозначаются прописными латинскими буквами: , , и т.д. Для того чтобы из высказываний получать новые высказывания, применяются специ­альные операции - логические связка. Рассмотрим пять основных логических связок. Сначала дадим неформальное объяснение. Од­нако оно чревато неточностями, поэтому дадим логическим опера­циям также строгое определение. Определить высказывание — зна­чит указать, в каких случаях оно истинно, а в каких ложно.

Отрицание — это высказывание, которое получается из данного высказывания с помощью слова «не». Отрицание можно обозна­чать по-разному: , , .

Простое добавление слова «не» к высказыванию чаще всего бу­дет противоречить языковым нормам. Поэтому в конкретных слу­чаях требуется «перевод» полученного высказывания на русский язык. Пусть, например, = «Завтра пойдет дождь». Что значит «Не (Завтра пойдет дождь)»: «Дождь пойдет не завтра», «Завтра пойдет не дождь» или «Завтра не пойдет дождь»? Здравый смысл под­сказывает, что отрицанием высказывания является третье предложение. Чтобы определить точно, дадим формальное определение отрицания.

Отрицанием высказывания называется такое высказывание, которое принимает значение (ложно), если высказывание истинно, и значение (истинно), если высказывание ложно. В нашем примере этому условию удовлетворяет только третье предложение. Итак, = «Завтра не пойдет дождь».

Дизъюнкция - это высказывание, которое получается из двух данных высказываний и с помощью союза «или». Дизъюнкция обозначается . Дизъюнкция строится с помощью неисключающего «или». Таким образом, дизъюнкция истинна, когда истинно по крайней мере одно из высказываний и или оба вместе. Другими словами, дизъюнкция ложна в том и только в том случае, когда оба высказывания ложны.

Конъюнкция - это высказывание, которое получается из двух данных высказываний и с помощью союза «и». Конъюнкция обозначается . Конъюнкция справедлива в том и только в том случае, когда оба высказывания истинны.

Импликация образуется из высказываний и с помощью слов «если... то...». Получается высказывание вида «если то ». На­помним, что. математическая. логика. носит формальный характер, содержанием высказываний она не, занимается.

На примере импликации хорошо видна разница между обыч­ным языком и языком логики. В обычном языке сложное предло­жение «если , то » предполагает между и отношение посылки и следствия или же причины и обусловленного ею действия. В логике импликация связывает любые два высказывания.

Импликация обозначается , при этом говорят: « влечет » или « при условии, что », « , если », « есть достаточное условие для », « есть необходимое условие для ».

Договорились, что импликация ложна в том и только в том случае, когда высказывание истинно, а высказывание ложно. Такое определение подсказано здравым смыслом: разумно считать импликацию истинной, если истинно, независимо от значения ; если оба участника импликации ложны, импликация, естественно, также истинна. В единственном случае, когда «предпосылка» им­пликации истинна, а «вывод» ложен, импликация считается лож­ной.

Эквиваленция образуется из высказываний и с помощью слов «...тогда и только тогда, когда...»:

Утверждение « тогда и только тогда, когда » не означает в логике, что составляющие высказывания и имеют одно и то же значение или один и тот же смысл.

Эквиваленция обозначается . Синонимы для эквиваленции: «если , то , и если , то », « в том и только в том случае, когда », «И есть необходимое и достаточное условие для », « есть необходимое и достаточное условие для ». Разумное определение эквиваленции: эквиваленция истинна в том и только в том случае, когда высказывания и имеют одинаковое значение истинности (либо оба истинны, либо оба ложны).

Новые высказывания (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция) образуются из существующих выска­зываний с помощью операций, или логических связок, имеющих те же названия.

В логике, как и в арифметике, операции делятся по старшин­ству. Это позволяет при записи сложных высказываний избегать большого количества скобок. Порядок выполнения операций таков: приоритет имеет отрицание, затем на одном уровне — дизъюнкция и конъюнкция, следующая связка — импликация и, наконец, самая последняя — эквиваленция.