Соединения. Бином Ньютона.

Рассмотрим совокупность различных элементов . Произвольная упорядоченная выборка из этих элементов

(  )

называется соединением. Эта выборка может быть как без повторений, так и с повторениями.

Раздел элементарной математики, в котором для конечных множеств рассматриваются различные соединения элементов, такие, как сочетания, размещения, перестановки, а также все виды соединений с повторениями называется комбинаторика. Задачи комбинаторики впервые рассматривались в связи с возникновением теории вероятностей, где к задачам комбинаторики приводит подсчет вероятностей на основе гипотезы равновозможных элементарных событий.

Размещениями из элементов по ( ) называют их соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов (выбранных из данных элементов) и которые отличаются либо сами элементами, либо порядком элементов.

Определим число размещений из элементов по .

Будем строить произвольное соединение последовательно. Сначала определим его первый элемент . Очевидно, что из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента , для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Для элементов формула приобретает вид:

Соединения из элементов, каждое из которых содержит все элементов, и которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками .

Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов.

Сочетаниями из элементов по ( ) называют такие их соединения, каждое из которых содержит ровно данных элементов, и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Рассмотрим все допустимые сочетания элементов .

Делая в каждом из них возможных перестановок их элементов, очевидно, получим все размещения из элементов по :

.

Числа являются коэффициентами в формуле бинома Ньютона:

Свойства сочетаний:

Свойства 1 и 2 очевидно следуют из определения , свойства 3 и 4 доказываются с помощью бинома Ньютона, полагая для свойства 3 что и , а для свойства 4 что и . Свойство 5 можно проверить следующим образом:

Это свойство позволяет последовательно вычислять биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля:

Здесь каждое число, кроме крайних единиц, является суммой двух вышерасположенных.