Разрешенные системы линейных уравнений
Переменная называется разрешенной, если какое-нибудь уравнение системы содержит с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы переменная не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.
Например, система уравнений
содержит разрешенные переменные . Переменные и разрешенными не являются.
Если каждое уравнение содержит разрешенную переменную, то такую систему называют разрешенной. Очевидно, что приведенная в качестве примера система уравнений является разрешенной.
Выбрав из каждого уравнения разрешенной системы по одной разрешенной переменной, можно сформировать набор попарно различных переменных, который называется набором разрешенных переменных данной системы. В общем случае набор разрешенных переменных определен неоднозначно. Например, у рассмотренной выше системы можно выбрать два набора разрешенных переменных: и
Переменные системы, которые не входят в данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если в системе фиксирован набор разрешенных переменных , то переменные являются свободными; если в набор разрешенных переменных системы входят , то свободными переменными являются .
Допустим, что разрешенная система уравнений содержит переменные и что набор является набором разрешенных переменных данной системы. Возможны два случая: и .
В первом случае, когда , все переменные системы образуют набор разрешенных переменных системы . Из определения набора разрешенных переменных вытекает, что данная система содержит уравнений. Из определения разрешенных переменных следует, что переменная содержится только в первом уравнении, переменная – только во втором и т.д., переменная – только в –м уравнении. Таким образом, разрешенная система имеет вид:
Очевидно, что такая система уравнений имеет только одно решение .
Во втором случае, когда разрешенная система состоит из уравнений вида
Переменные являются свободными переменными системы. Если выразить разрешенные переменные системы через ее свободные переменные , то система примет вид:
Теорема (свойство свободных переменных). Если свободным переменным системы придать произвольные значения , тогда
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- А кадемия управления при Президенте Республики Беларусь
- Курс лекций
- Введение Лекция 1. Основы математической логики
- Высказывания и логические связки
- Контрольные вопросы к теме:
- Элементарная математика Лекция 2. Элементы теории множеств.
- Основные понятия.
- Основные операции над множествами
- Отображения.
- Отношения эквивалентности и упорядоченности
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 3. Числовые множества.
- Основные понятия
- Соединения. Бином Ньютона.
- Комплексные числа
- Операции над комплексными числами
- Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
- Контрольные вопросы к теме
- Аналитическая геометрия
- Лекция 4. Векторы
- Основные понятия
- Линейные операции над векторами
- Проекция вектора на ось
- Линейная зависимость векторов
- Базис. Координаты вектора в базисе
- Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
- Направляющие косинусы
- Скалярное произведение
- Векторное произведение
- Смешанное произведение
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 5. Прямая
- Основные понятия
- Взаимное расположение прямых
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 6. Плоскость
- Основные понятия
- Нормальное уравнение плоскости
- Взаимное расположение плоскостей
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 7. Кривые второго порядка
- Гипербола
- Парабола
- Исследование на плоскости уравнения второй степени
- Контрольные вопросы к теме
- Линейная алгебра Лекция 8. Понятие евклидова пространства.
- – Мерные векторы
- Коллинеарные векторы
- Размерность и базис векторного пространства
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 9. Матрицы
- Основные понятия
- Операции над матрицами
- Определитель матрицы
- Ранг матрицы
- Обратная матрица
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 10. *Понятие линейного оператора*
- Переход к новому базису
- Линейное преобразование переменных
- Собственные значения и собственные вектора матриц
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 11. Многочлены
- Основные понятия
- Теорема о делении с остатком.
- Теорема Безу.
- Контрольные вопросы к теме
- Понятие квадратичной формы.
- Канонический базис квадратичной формы
- Канонический базис из собственных векторов матрицы квадратичной формы
- Канонический базис Якоби квадратичной формы .
- Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…, .
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы положительны.
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы отрицательны
- Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы положительны.
- Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы четного порядка положительны, а главные миноры матрицы нечетного порядка отрицательны.
- Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка.
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 13. Системы линейных уравнений
- Основные понятия
- Критерий совместности системы линейных уравнений
- Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- Метод Гаусса
- Однородные системы уравнений.
- Разрешенные системы линейных уравнений
- Можно построить решение системы уравнений, у которого значения свободных переменных будут равны соответственно ;
- Если у решений и системы уравнений значения свободных переменных совпадают, то и сами решения совпадают.
- Контрольные вопросы к теме
- Лекция 14. *Основы линейного программирования*
- Линейное программирование
- Задача линейного программирования
- Приведение общей задачи линейного программирования к канонической форме.
- Множества допустимых решений
- Опорное решение задачи линейного программирования, его взаимосвязь с угловыми точками.
- Симплекс-метод с естественным базисом.
- Симплексный метод с искусственным базисом (м-метод).
- Теория двойственности.
- Теоремы двойственности
- Контрольные вопросы к теме
- Экзаменационные вопросы
- Литература