Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между и ).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через . По условию, .

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

где ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми и .

Так как в уравнение входят только четные степени и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .

График этой функции от точки уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны и параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Рис 7.8.

Г ипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки и пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы. Величины и называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На Рис. 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и . Их длины и задаются формулами:

Для правой ветви ,

Для левой ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .