Интегральн признак сход.

₁^%f(x)dx=lim_b%1^bf(x)dx Σ_n=1f(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)+… {T}Пусть f(x) убывает на [1;%) и неотриц на этом пр тогда несобств интеграл ₁^%f(x)dx и ряд Σ_n=1f(n) одновременно либо сх либо расх {Д} пусть xR любое действ число, тогда сушь натуральное число k такое что k<=x<=k+1 т.к f(x) убываюшь ф-ция то f(k+1)<=f(x)<=f(k) запишем для разных k: проинт нерав по x от k до k+1: _k^k+1f(k)dx=f(k) _k^k+1dx=f(k) f(k+1)<= _k^k+1f(x)dx<=f(k) (1) Запишем (1) для разных k ; k=1 f(2)<= ₁²f(x)dx<=f(1) ; k=2: f(3)<= ₁³f(x)dx<=f(2) ; при k=n f(n+1)<= ₁³f(x)dx<=f(n) сложим : f(2)+f(3)+….+f(n+1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=f(1)+f(2)+….+f(n) или S_n+1-f(1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=S_n (2) {Д}пусть несобст интег ₁^%f(x)dx сход|из опред сход несобств инт| lim_b%1^bf(x)dx=I т.к f(x) не отриц то ₁^bf(x)dx<=I огранич сверху ф-ция зафиксир число n и будем рассматр в виде b>n+1 тогда ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=₁^bf(x)dx<=I из (2) получим S_n+1-f(1)<= ₁ⁿ⁺¹f(x)dx<=₁^bf(x)dx<=I т.е S_n+1<=f(1)+I т.е частные суммы ряда Σ_n=1f(n) огранич сверху. Из критерия сход знакопост рядовряд Σ_n=1f(n) сходит. (₁^%1/x^p p=1 lim₁^b1/x^p=% расх, при 0<p<1 - сход) {O}общ гарм ряд- Σ_n=11/n^p-{расх если 0<p<=1 сх если p>1 }