Обратная матрица

Пусть - квадратная матрица порядка . Матрица называется обратной матицей к матрице , если выполняются равенства , где ‑ единичная матрица порядка .

Теорема 1. Если для данной матрицы существует обратная матрица, то она единственная.

Пусть и ‑ матрицы, обратные к матрице . Тогда , с другой стороны, .

Откуда . Обратную матрицу к матрице обозначают .

Теорема 2. Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Пусть имеет обратную матрицу. Тогда и , применяя теорему об умножении определителей, получаем или . Следовательно, .

Пусть . Укажем явное выражение матрицы через элементы матрицы , а именно: если , то

здесь ‑ алгебраическое дополнение к элементу . Матрица (9.5) получается из матрицы следующим образом. Сначала вместо каждого элемента пишется его алгебраическое дополнение, затем полученная матрица транспонируется и получается т.н. присоединенная матрица. Для получения обратной матрицы присоединенная матрица умножается на величину, обратную .

Непосредственное умножение на матрицу (9.5) слева и справа дает единичную матрицу, что подтверждает, что (9.5) – матрица, обратная к .

Пример 12. Найти обратную матрицу к матрице .

Так как , то существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

Матрицу находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу , состоящую из алгебраических дополнений элементов . Затем матрица транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае – на (-1). Окончательно получаем:

.

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если и ‑ невырожденные матрицы одинакового порядка, то

,

,

,

.