Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а*, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента , за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М. 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а* содержится М. сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числа.

Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим ( или предшествующим) числу b. Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что b*=a.

13. Сложение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы сложения.

    Сложение Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения (1) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи.

 Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

Существует функция g из w ґ w в w такая, что

 Такая функция g единственна.

Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .

Так, для любых натуральных чисел m и n:

Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.

1.9 2 + 2 = 4.

1.10 n'= n + 1. 

1.11 (k + m) + n = k + (m + n). ^* 

1.12 0 + n = n. 

1.13 m'+ n = m + n'. 

1.14 m + n = n + m. ^* 

1.15 Если k + m = k + n, то m = n. ^*