12. Алгебраїчний метод розв’язання конструктивних задач і його застосування.
Розділ геометрії, в якому вивчаються геометричні побудови, називають конструктивною геометрією. Основним поняттям конструктивної геометрії є поняття побудувати геометричну фігуру.
Сутність алгебраїчного методу полягає в наступному. Рішення задач на побудову зводиться до побудови деякого відрізка (або декількох відрізків). Величину шуканого відрізка виражають через величини відомих відрізків за допомогою формули. Потім будують шуканий відрізок по отриманій формулі.
Розв’язок конструктивної задачі – алгоритм побудови шуканої фігури.
Схема роз’язування конструктивних задач:
І етап – аналіз: шукають залежності, які випливають з умови і дають можливість побудувати алгоритм задачі;ІІ етап – побудова: реалізація знайденого алгоритму;
ІІІ етап – доведення; IV етап – дослідження: при яких даних задача має розв’язок? Скільки розв’язків має задача? тощо.
Задача 1(задача про подвоєння квадрата.) Побудувати квадрат, площа якого вдвічі більше площі даного квадрата.
Аналіз. Позначимо сторону даного квадрата через , а сторону шуканого квадрата через . Тоді .
Побудова. Будуємо тепер відрізок по отриманій формулі: – гіпотенуза рівнобедреного трикутника з катетом . Побудувавши відрізок , легко потім побудувати шуканий квадрат Рис. 1
Рис 1
Задача 2. З вершин даного трикутника, як із центрів, описати три окружності, що стосуються попарно зовнішнім образом.
Аналіз. Нехай АВС рис. 2– даний трикутник, а, b, c – його сторони, х, в, z – радіуси шуканих окружностей. Виразимо х, в, z через а, b, c.
Тоді
Тому
звідки , ,
Побудова.
Рис. 2.
Проводимо окружність S1(A, x).
Проводимо окружність S2(B, c – x).
Проводимо окружність S3(C, b – x).
Доведення. Знайдемо суму радіусів окружностей S2 і S3:
= ВР.
Одержали, що сума радіусів дорівнює відстані між центрами окружностей, що й доводить торкання окружностей S2 і S3.
Дослідження. Задача завжди однозначно розв'язна, оскільки:
1. У трикутнику АВС сума сторін , і тому відрізок х може бути побудований.
, тому що тому що .
, тому що
- Теореми і аксіоми. Види теорем. Методи доведення теорем. Геометричні і алгебраїчні задачі на доведення і дослідження.
- Тригонометричні функції, їх властивості і графіки. Методика вивчення тригонометричних функцій.
- Логарифмічні функції і їх графіки. Методика вивчення логарифмічної функції в курсі алгебри і початків аналізу.
- 7. Похідна і її властивості. Методика вивчення похідної в шкільному курсі математики.
- 8. Методика вивчення застосувань похідної в шкільному курсі математики.
- 9. Методика вивчення первісної та інтегралу в шкільному курсі математики.
- 11. Геометричні перетворення площини. Використання геометричних перетворень площини для розв’язання конструктивних задач.
- 12. Алгебраїчний метод розв’язання конструктивних задач і його застосування.
- 13. Метод геометричних місць точок і його застосування до розв’язання конструктивних задач.
- Стереометрія як навчальний предмет, пропедевтика вивчення стереометрії в основній школі.
- 15. Методика проведення перших уроків стереометрії.
- 16. Методика вивчення паралельності прямих і площин.
- 17) Методика вивчення перпендикулярності прямих і площин.
- 18) Методика вивчення теми «Призма» в курсі стереометрії.
- Методика вивчення теми «Піраміда» в курсі стереометрії.
- .Методика вивчення теми «Многогранники». Теорема Ейлера і правильні многогранники.
- 22. Координатний метод і його застосування для розв’язування задач
- Методика вивчення елементів комбінаторики.
- 24. Методика вивчення початків теорії ймовірностей і елементів статистики.
- 26. Методика вивчення показникових рівнянь
- Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей.
- 28. Методика вивчення рівнянь і нерівностей в курсі алгебри і початків аналізу.
- Формування графічних вмінь і навичок при вивченні математики.
- 30. Нестандартні задачі і теореми елементарної геометрії. Принцип Діріхле. Теореми Чеви і Менелая.