logo
шпори гос2

8. Методика вивчення застосувань похідної в шкільному курсі математики.

Відомі різноманітні застосування похідної.

1. В алгебрі - застосування до дослідження функцій і побудови їх графіків,

2. В геометрії - для знаходження рівняння дотичної.

3. Похідна використовується в наближених обчисленнях, для наближеного розв'язування рівнянь, дослідження і відокремлення коренів рівнянь, спрощення виразів, доведення тотожностей і нерівностей, знаходження біноміальних коефіцієнтів і доведення формули бінома Ньютона.

4. У фізиці похідною послуговуються, обчислюючи швидкість і прискорення, досліджуючи різні фізичні явища, наприклад явища резонансу.

Застосування похідної для знаходження найбільших і найменших значень функцій на певному відрізку [а; b] дає змогу розв'язати широкий клас прикладних задач. У таких задачах функція не задається в готовому вигляді, а за умовою задачі треба скласти співвідношення, яке зв'язує функцію з тими змінними, від яких залежить її найбільше чи найменше значення.

На гурткових та факультативних заняттях, в класах з поглибленим вивченням математики слід ознайомити учнів з іншими важливими застосуваннями похідної. Зокрема, застосування похідної до наближених обчислень ефективніше здійснюється за умови попереднього введення поняття диференціала функції.

Застосування похідної до дослідження функції.

Дослідження функцій на монотонність. Шкільна практика показує, що при введенні ознак зростання (спадання) функцій доцільно почати з графічних ілюстрацій відомих учням найпростіших функцій у = х2 і у = х3. Справді, з графіка параболи у = х2 бачимо, що на проміжку (0; + ∞), де функція зростає, дотична до графіка в будь-якій точці утворює гострий кут з додатним напрямом осі х. Це означає, що похідна у цих точках додатна. На проміжку ж (–∞; 0), де функція спадає, дотична до параболи утворює тупий кут з додатним напрямом осі х, тобто похідна на цьому проміжку від'ємна.

Функція у = х3 зростає на всій області визначення, тобто на проміжку (–∞; + ∞). Дотичні до графіка цієї функції у всіх точках, крім однієї (початок координат), утворюють гострі кути з додатним напрямом осі х. Це означає, що похідна даної функції в усіх точках, крім х = 0, додатна. Лише при х = 0 вона дорівнює нулю.

На основі розглянутих прикладів учні самостійно сформулюють зазначені достатні умови. Треба звернути їхню увагу на те, що достатні умови є оберненими твердженнями щодо помічених на графіках у =х2 і у =х3 властивостей функцій та їх похідних.

На прикладі дослідження однієї-двох функцій можна сформулювати відповідний алгоритм: для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції, треба:

  1. знайти область визначення функції і точки розриву;

  2. знайти похідну;

  3. записати і розв'язати нерівність і вибрати з множини її розв'язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції;

  4. записати нерівність і вибрати з множини її розв'язків проміжки, де функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції.

Дослідження функцій на максимуми, мінімуми, найбільші та найменші значення. Спочатку треба ввести ряд нових для учнів понять: точка максимуму функції, точка мінімуму функції, точка екстремуму, максимум функції, мінімум функції, екстремуми функції. Досвід показує, що деякі учні плутають поняття «точка максимуму функції» і «максимум функції», «точки екстремуму функції» і «екстремум функції». Слід спеціально підкреслити, що коли йдеться про точки максимуму (мінімуму), точки екстремуму функції, то мається на увазі значення аргументу, а в разі вживання понять максимум (мінімум), екстремум йдеться про значення функції. Важливо також наголосити на тому, що максимум і мінімум (екстремуми) характеризують поведінку функції в як завгодно малому околі точки х0, а не на всій області визначення чи на відрізку області, де визначений максимум функції в певній точці може виявитись меншим від мінімуму в іншій точці. При введенні понять найбільшого і найменшого значень функції треба ще раз підкреслити, що останні два поняття характеризують поведінку функції на певному відрізку [а; b]. При введенні поняття «критичні точки функції» особливу увагу треба звернути на ті критичні точки, де похідна не існує, проілюструвавши їх відповідним графіком.

Доцільно після вивчення достатніх ознак сформулювати алгоритм дослідження функцій на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

  1. знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну , розв'язати одержане рівняння і приєднати до коренів рівняння = 0 точки, при яких похідна не існує;

  2. розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання;

  3. дослідити знак похідної спочатку ліворуч, а потім праворуч від кожної критичної точки. Якщо при переході х через критичну точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій критичній точці функція y=f(x) має максимум; якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці функція має мінімум. Якщо при переході х через критичну точку похідна не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму;

  4. обчислити максимуми і мінімуми функції, підставивши в формулу значення точок максимуму і точок мінімуму.

Оскільки задачі на знаходження проміжків зростання , спадання і екстремумів функцій пов’язані між собою, то можна сформулювати алгоритм одночасного розв’язання цих обох задач, який зручно використовувати при загальному дослідженні функцій і побудові їх графіків: щоб знайти проміжки зростання, спадання і екстремуми функції, треба:

  1. Знайти область визначення функції;

  2. Знайти критичні (стаціонарні) точки функції, розмістити їх в порядку зростання і занести до таблиці разом з проміжками, де функція визначена;

  3. по контрольних точках знайти знак похідної на кожному з одержаних проміжків;

  4. визначити за знаком похідної характер зміни (зростання чи спадання) на кожному з проміжків;

  5. виявити наявність екстремуму в кожній критичній )стаціонарній) точці і обчислити його.

Розв’язуючи вправи на відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відрізку також доцільно виділити алгоритм, який складається з трьох кроків:

  1. знайти всі стаціонарні (критичні) точки функції на відрізку ;

  2. обчислити значення функції в усіх стаціонарних точках і на кінцях a і b відрізка;

  3. з одержаних чисел вибрати найбільше і найменше.

Розв’язання текстових задач на знаходження найбільших і найменших значень

При обчисленні найбільших і найменших значень в задачах з конкретним практичним змістом корисно дати учням правило-орієнтир розв’язання таких задач:

    1. проаналізувати формулювання задачі, з’ясувавши, найбільше (найменше) значення якої величини треба знайти; вибрати незалежну змінну (аргумент) х і записати цю величину у вигляді формули, що задає відповідну функцію;

    2. знайти найбільше і найменше значення цієї функції.

Слід звернути увагу учнів також на те, що в багатьох задачах вже за умовою можна вказати характер стаціонарної точки, не досліджуючи знака похідної зліва і справа від неї. Проте в деяких задачах без такого дослідження обійтися не можна.